Potencias
Una potencia es una multiplicación repetida: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Aprende qué son la base y el exponente, las propiedades, el exponente cero y negativo, las potencias de 10 y la notación científica.
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Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación en la que se repite el mismo factor. En 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, el número 2 que se repite es la base y el 5, que dice cuántas veces se repite, es el exponente. Se lee «dos elevado a cinco» o «dos a la quinta».
La página explica las partes de una potencia, las tablas de cuadrados, cubos y potencias de 2, 3 y 5, las propiedades para multiplicar, dividir y elevar potencias, el exponente cero y los exponentes negativos, el signo de las potencias, las potencias de 10 y la notación científica. Cada apartado trae ejemplos resueltos y al final hay ejercicios con soluciones. En alemán: Potenzen.
Base y exponente
El exponente indica cuántas veces aparece la base como factor. Con exponente 2 se habla de cuadrado (porque da el área de un cuadrado de ese lado) y con exponente 3 de cubo (volumen de un cubo). El exponente 1 deja el número igual: 71 = 7.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
| n3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
| Exponente | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2n | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| 3n | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19 683 | 59 049 |
| 5n | 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15 625 | 78 125 | 390 625 | 1 953 125 | 9 765 625 |
El signo de una potencia
Con base negativa, el signo depende del exponente: si es par, el resultado es positivo; si es impar, negativo. (−2)4 = 16 y (−2)3 = −8. Cuidado con los paréntesis: (−3)2 = 9, pero −32 = −9, porque el exponente solo afecta al 3 y el signo menos se aplica después.
Propiedades de las potencias
| Propiedad | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto de igual base | am · an = am+n | 23 · 24 = 27 = 128 |
| Cociente de igual base | am : an = am−n | 56 : 54 = 52 = 25 |
| Potencia de una potencia | (am)n = am·n | (32)3 = 36 = 729 |
| Producto de igual exponente | an · bn = (a · b)n | 23 · 53 = 103 = 1000 |
| Cociente de igual exponente | an : bn = (a : b)n | 62 : 32 = 22 = 4 |
Exponente cero y exponente negativo
Para que la regla de la división siga valiendo, an : an = a0, y como cualquier número (distinto de 0) dividido entre sí mismo da 1, se define a0 = 1. Del mismo modo, 23 : 25 = 2−2 y, simplificando, 8/32 = 1/4, de modo que a−n = 1 / an.
Un exponente negativo no hace negativa la potencia: lo que hace es invertir la base.
Potencias de 10
Las potencias de 10 son especialmente útiles porque el exponente cuenta los ceros: 103 = 1000 (tres ceros), 106 = 1 000 000. Con exponente negativo, 10−1 = 0,1, 10−2 = 0,01 y 10−3 = 0,001: el exponente cuenta los lugares decimales. Multiplicar por 10n mueve la coma n lugares a la derecha y multiplicar por 10−n, a la izquierda.
Notación científica
La notación científica escribe un número como a · 10n con 1 ≤ a < 10 y n entero. Sirve para números muy grandes o muy pequeños. Para escribirlo, mueves la coma hasta dejar una sola cifra distinta de cero delante y el exponente cuenta cuántos lugares la moviste (positivo si el número era grande, negativo si era pequeño).
| Número | Notación científica |
|---|---|
| 45 000 000 | 4,5 · 107 |
| 150 000 000 (km de la Tierra al Sol, aprox.) | 1,5 · 108 |
| 0,00032 | 3,2 · 10−4 |
| 0,000 052 | 5,2 · 10−5 |
| 38 000 | 3,8 · 104 |
Errores frecuentes
- Multiplicar base y exponente: 25 no es 10, sino 32.
- Multiplicar las bases en un producto de igual base: 23 · 24 no es 47, sino 27.
- Sumar potencias con las reglas del producto: 23 + 24 = 8 + 16 = 24, no 27.
- Confundir (−3)2 con −32. El primero da 9 y el segundo −9.
- Creer que un exponente negativo da un número negativo: 2−3 = 1/8, que es positivo.
- Decir que a0 = 0. Para a distinto de 0, a0 = 1.
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué es una potencia?
Una multiplicación repetida del mismo factor, que se escribe con base y exponente: 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
¿Cuáles son las propiedades de las potencias?
Producto de igual base (se suman exponentes), cociente (se restan), potencia de potencia (se multiplican) y las de igual exponente. Mira la tabla de propiedades.
¿Por qué cualquier número elevado a 0 es 1?
Porque an : an = 1 y, por la regla del cociente, también es an−n = a0.
¿Qué significa un exponente negativo?
Que hay que invertir la base: a−n = 1 / an. Así, 2−3 = 1/8.
¿Cómo se escribe un número en notación científica?
Como a · 10n con a entre 1 y 10. Por ejemplo, 45 000 000 = 4,5 · 107. Más en la sección de notación científica.
¿Cuánto es 2 elevado a 10?
1024. Está en la tabla de potencias de 2.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: números racionales.
- Siguiente tema: raíz cuadrada, la operación inversa de elevar al cuadrado.
- Para repasar el orden de las operaciones: operaciones combinadas.
- En alemán: Potenzen.
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