Números racionales
Un número racional es el que se puede escribir como fracción de dos enteros. Aquí ves la definición, la diferencia con los irracionales, los conjuntos numéricos N, Z, Q y R y cómo convertir un decimal periódico en fracción.
Un número racional es un número que se puede escribir como una fracción a/b, con a y b enteros y b distinto de 0. El conjunto de los números racionales se escribe ℚ. Son racionales 3/4, −5/2, el entero 7 (porque 7 = 7/1), el decimal 0,25 (= 1/4) y también 0,333… (= 1/3). Los números que no se pueden escribir así, como √2 o π, son irracionales.
La página muestra cómo encajan los conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales y reales), cuándo un decimal es racional, cómo pasar un decimal periódico a fracción, cómo se ordenan los racionales y por qué √2 es irracional, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Para operar con fracciones mira fracciones y para los enteros, números enteros.
Qué es un número racional
El nombre viene de «razón», en el sentido de cociente entre dos números. Una fracción puede escribirse de muchas formas equivalentes (1/2 = 2/4 = 3/6…), pero todas representan el mismo racional. El signo se suele poner delante: −3/4, 3/(−4) y −(3/4) son lo mismo.
| Como fracción | Como decimal | Tipo de decimal |
|---|---|---|
| 3/4 | 0,75 | exacto |
| −5/2 | −2,5 | exacto |
| 7 = 7/1 | 7 | entero |
| 1/3 | 0,333… = 0,(3) | periódico puro |
| 5/12 | 0,41666… = 0,41(6) | periódico mixto |
| 4/7 | 0,571428571428… = 0,(571428) | periódico puro |
Conjuntos numéricos: ℕ, ℤ, ℚ y ℝ
| Conjunto | Símbolo | Qué contiene | Ejemplos |
|---|---|---|---|
| Naturales | ℕ | los números para contar | 0 (según el libro), 1, 2, 3… |
| Enteros | ℤ | naturales, sus opuestos y el 0 | −3, 0, 5 |
| Racionales | ℚ | fracciones de enteros | −3/4, 0,5, 2 |
| Irracionales | 𝕀 | decimales infinitos sin periodo | √2, π, e |
| Reales | ℝ | racionales e irracionales juntos | todos los anteriores |
Cada conjunto contiene al anterior: todo natural es entero, todo entero es racional y todo racional es real. Por ejemplo, 5 es natural, entero, racional (5/1) y real. El número −2/3 es racional y real, pero no entero. Y π es real, pero no racional. Si el 0 se cuenta como natural depende del libro y del país.
Racionales e irracionales
Un decimal con infinitas cifras que no se repiten en ningún periodo no se puede escribir como fracción: es un número irracional. Ejemplos: √2 = 1,41421356…, π = 3,14159265…, o la raíz cuadrada de cualquier número natural que no sea cuadrado perfecto (√5, √7, √20…). En cambio, √16 = 4 y √0,25 = 0,5 sí son racionales.
Al calcular con la calculadora ves solo unas cifras de un irracional; esa aproximación decimal es un número racional, pero no es el número real. Por ejemplo, 22/7 ≈ 3,142857 se parece a π pero no es igual.
De fracción a decimal: exacto o periódico
Dividiendo el numerador entre el denominador obtienes el decimal. Si la fracción es irreducible, el resultado es exacto cuando el denominador solo tiene los factores primos 2 y 5, y periódico en cualquier otro caso.
De decimal periódico a fracción
Todo decimal exacto o periódico es un racional y se puede pasar a fracción.
- Exacto: 0,35 = 35/100 = 7/20.
- Periódico puro (el periodo empieza justo tras la coma): numerador = (número sin coma) − (parte entera); denominador = tantos 9 como cifras tenga el periodo.
- Periódico mixto (hay cifras antes del periodo): numerador = (número sin coma) − (parte entera y cifras no periódicas); denominador = tantos 9 como cifras del periodo seguidos de tantos 0 como cifras no periódicas.
Ordenar y comparar racionales
Para comparar dos racionales, pasa a decimales o busca un denominador común. Los racionales se pueden situar en la recta numérica: −3/2 = −1,5 está entre −2 y −1. Entre dos racionales distintos siempre hay otro: el punto medio. Entre 1/3 y 1/2 está (1/3 + 1/2) : 2 = 5/12. Por eso, entre dos racionales hay infinitos.
Errores frecuentes
- Pensar que todo número con coma es irracional. Los decimales exactos y los periódicos son racionales.
- Creer que 22/7 o 3,14 es igual a π. Son aproximaciones racionales.
- Confundir el periodo con el anteperiodo al pasar a fracción mixta.
- Pensar que −3/4 y 3/(−4) son distintos. Son el mismo número.
- Olvidar que b no puede ser 0: 5/0 no es un número.
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué son los números racionales?
Los que se pueden escribir como fracción de dos enteros con denominador distinto de 0. Incluyen enteros, decimales exactos y decimales periódicos.
¿Cuál es la diferencia entre números racionales e irracionales?
Los racionales tienen decimales exactos o periódicos. Los irracionales tienen infinitos decimales sin periodo y no se pueden escribir como fracción. Mira los ejemplos.
¿Qué son los conjuntos numéricos N, Z, Q y R?
Naturales, enteros, racionales y reales. Cada uno contiene al anterior. Está en la tabla de los conjuntos.
¿Cómo se pasa un decimal periódico a fracción?
Con la regla de los 9 y los 0, o con el truco de multiplicar por una potencia de 10 y restar. Hay ejemplos en la sección correspondiente.
¿Es 0 un número racional?
Sí: 0 = 0/1.
¿Es π un número racional?
No, es irracional. Aproximaciones como 3,14 o 22/7 sí son racionales, pero no son iguales a π.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: números enteros.
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- Repasa fracciones y números decimales.
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