Máximo común divisor

El máximo común divisor de dos o más números naturales, que se abrevia MCD (o mcd), es el mayor número que divide exactamente a todos ellos. Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12; los de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Los divisores comunes son 1, 2, 3 y 6, y el mayor es 6, así que MCD(12, 18) = 6.

Aquí ves tres formas de calcularlo (con la lista de divisores, con la descomposición en factores primos y con el algoritmo de Euclides), qué son los números primos entre sí, cómo se relaciona el MCD con el mínimo común múltiplo, cómo se usa para simplificar fracciones y para resolver problemas de reparto, y ejercicios con soluciones. Para comprobar tus resultados hay, en alemán, la calculadora de MCD y mcm.

Qué es el máximo común divisor

Un divisor de un número es otro número que lo divide exactamente, sin resto. Un divisor común de dos números es uno que divide a los dos. El mayor de todos es el máximo común divisor. El 1 siempre es divisor común, así que el MCD existe siempre y vale al menos 1. Todos los divisores comunes son a su vez divisores del MCD: los divisores comunes de 12 y 18 (1, 2, 3 y 6) son justo los divisores de 6.

Cómo calcular el MCD con la lista de divisores

Escribes todos los divisores de cada número, marcas los que están en todas las listas y eliges el mayor. Es cómodo con números pequeños.

Cómo calcular el MCD con factores primos

Con números mayores es más rápido descomponerlos en factores primos (mira el método en números primos). Los pasos son:

1. Descompón cada número en factores primos.
2. Toma solo los factores que aparecen en todos los números (los comunes).
3. De cada factor común, quédate con el menor exponente.
4. Multiplica.

Algoritmo de Euclides

Hay un método que no necesita descomponer los números y que funciona incluso con números muy grandes. Se basa en esta idea: el MCD de a y b es el mismo que el de b y el resto de dividir a entre b. Los pasos son:

1. Divide el número mayor entre el menor y anota el resto.
2. Divide el divisor anterior entre ese resto, y así sucesivamente.
3. Cuando el resto sea 0, el MCD es el último resto distinto de cero (el último divisor).

Números primos entre sí

Dos números son primos entre sí (o coprimos) cuando su MCD es 1, es decir, cuando no tienen más divisor común que el 1. No tienen por qué ser primos ellos mismos: 8 y 15 no son primos, pero MCD(8, 15) = 1. También lo son 14 y 25. Dos números primos distintos siempre son primos entre sí. Para repasar qué es un primo, mira números primos.

Relación entre el MCD y el mcm

Para dos números a y b se cumple:

Con MCD(12, 18) = 6 y mcm(12, 18) = 36 resulta 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Esto permite calcular uno cuando conoces el otro: mcm(84, 126) = 84 × 126 : MCD(84, 126) = 10 584 : 42 = 252.

Usos del MCD: simplificar fracciones

Para simplificar una fracción hasta que sea irreducible, divides numerador y denominador entre su MCD. Por ejemplo, 84/126: como MCD(84, 126) = 42, resulta 84 : 42 = 2 y 126 : 42 = 3, y la fracción simplificada es 2/3. Sigue el método completo en simplificar fracciones.

Problemas con el máximo común divisor

El MCD aparece cuando hay que dividir o repartir en partes iguales y lo más grandes posible. Las pistas son «el mayor», «trozos iguales», «sin que sobre nada».

Errores frecuentes

• Confundir el MCD con el mcm. El MCD es menor o igual que los dos números; el mcm es mayor o igual.
• Tomar todos los factores en lugar de solo los comunes.
• Tomar el mayor exponente en lugar del menor.
• Parar un paso antes en el algoritmo de Euclides: el MCD es el último resto distinto de cero, no el último cociente.
• Olvidar el 1: si no hay factores comunes, el MCD es 1, no 0.
• Usar el MCD en un problema de coincidencias (lo que se repite cada cierto tiempo): ahí corresponde el mcm.

Ejercicios con soluciones

Preguntas frecuentes

Sigue aprendiendo

• Tema anterior: mínimo común múltiplo.
• Siguiente tema: perímetro.
• Para aplicar el MCD: fracciones y números primos.
• En alemán: calculadora de MCD y mcm.