Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (mcm) de varios números es el menor número que es múltiplo de todos ellos. Aquí aprendes a calcularlo listando múltiplos y descomponiendo en factores primos, con problemas y ejercicios resueltos.
El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales, que se abrevia mcm (o MCM, según el país y el libro), es el menor número distinto de cero que es múltiplo de todos ellos. Por ejemplo, los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16… y los de 6 son 6, 12, 18…; el primero que aparece en las dos listas es 12, así que mcm(4, 6) = 12.
La página muestra cómo se calcula el mcm de dos y de tres números con los dos métodos habituales (listando múltiplos y con la descomposición en factores primos), qué pasa en los casos especiales, cómo se relaciona con el máximo común divisor, y cómo se usa para resolver problemas y para sumar fracciones. Termina con ejercicios y soluciones. Para comprobar resultados hay, en alemán, la calculadora de MCD y mcm y la calculadora de factores primos.
Qué es el mínimo común múltiplo
Un múltiplo de un número es el resultado de multiplicarlo por 1, 2, 3, 4… (son los resultados de su tabla de multiplicar). Un múltiplo común de dos números es un número que aparece en las dos listas de múltiplos. Hay infinitos múltiplos comunes, y el menor de ellos, sin contar el 0, es el mínimo común múltiplo. Los demás son múltiplos del mcm: los múltiplos comunes de 4 y 6 son 12, 24, 36…
Cómo calcular el mcm listando múltiplos
Es el método más intuitivo y sirve cuando los números son pequeños. Escribes los primeros múltiplos de cada número hasta que aparezca uno que está en todas las listas.
Cómo calcular el mcm con factores primos
Con números grandes, listar múltiplos es lento. El método de la descomposición en factores primos funciona siempre. Los pasos son:
- Descompón cada número en factores primos (mira cómo en descomposición en factores primos).
- Escribe todos los factores primos que aparezcan, los comunes y los no comunes.
- De cada factor, quédate con el mayor exponente con el que aparece.
- Multiplica esos factores.
Descomposición simultánea
Con varios números se puede hacer a la vez. Divides todos entre un primo que divida a alguno (los que no se pueden dividir los copias igual) y repites hasta que todos sean 1. El mcm es el producto de los primos usados.
Casos especiales
- Un número es múltiplo del otro: el mcm es el mayor. mcm(5, 20) = 20.
- Números primos entre sí (no tienen factores comunes): el mcm es el producto. mcm(8, 9) = 72 y mcm(7, 11) = 77.
- Un número y el 1: mcm(n, 1) = n.
| Números | mcm | Números | mcm |
|---|---|---|---|
| 2 y 3 | 6 | 12 y 18 | 36 |
| 4 y 6 | 12 | 15 y 20 | 60 |
| 6 y 8 | 24 | 18 y 24 | 72 |
| 8 y 12 | 24 | 21 y 35 | 105 |
| 9 y 12 | 36 | 10 y 15 | 30 |
Relación entre el mcm y el máximo común divisor
Para dos números a y b, el producto del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo es igual al producto de los dos números:
Por ejemplo, MCD(12, 18) = 6 y mcm(12, 18) = 36; 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Esto da una forma de calcular el mcm cuando ya conoces el MCD: mcm(16, 24) = 16 × 24 : MCD(16, 24) = 384 : 8 = 48. La relación solo vale para dos números; con tres o más no se cumple de esta forma.
Problemas con el mínimo común múltiplo
El mcm aparece cuando algo se repite cada cierto tiempo o cuando buscas el menor tamaño común. Las palabras clave son «cuándo vuelven a coincidir», «cada», «el menor número que».
Errores frecuentes
- Confundir el mcm con el MCD. El mcm es siempre mayor o igual que los dos números; el MCD es menor o igual.
- Tomar solo los factores comunes. Para el mcm se toman todos, comunes y no comunes.
- Tomar el menor exponente en lugar del mayor.
- Multiplicar los dos números sin más: 12 × 18 = 216 es un múltiplo común, pero no el menor.
- Parar en el primer múltiplo que se parece: comprueba que el número está en todas las listas.
- Olvidar un factor cuando hay tres números o más.
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué es el mínimo común múltiplo?
Es el menor número, distinto de cero, que es múltiplo de dos o más números a la vez. Por ejemplo, mcm(4, 6) = 12.
¿Cómo se calcula el mcm?
Puedes listar los múltiplos de cada número hasta encontrar el primero común, o descomponer los números en factores primos y multiplicar todos los factores con su mayor exponente. Los dos métodos están explicados más arriba.
¿Cómo se calcula el mcm de tres números?
Igual que con dos: descompones los tres en factores primos y tomas todos los factores con su mayor exponente. Por ejemplo, mcm(6, 8, 15) = 23 · 3 · 5 = 120.
¿Cuál es la diferencia entre el mcm y el MCD?
El mcm es el menor múltiplo común y es mayor o igual que los números. El MCD es el mayor divisor común y es menor o igual que los números. Para dos números, MCD × mcm = producto de los dos.
¿Para qué sirve el mínimo común múltiplo?
Para sumar y restar fracciones con distinto denominador y para resolver problemas donde dos cosas se repiten cada cierto tiempo y quieres saber cuándo coinciden.
¿Cuál es el mcm de dos números primos?
Su producto, porque no tienen factores comunes. Por ejemplo, mcm(7, 11) = 77.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: números primos.
- Siguiente tema: máximo común divisor.
- Para usar el mcm en la práctica: fracciones.
- En alemán: calculadora de MCD y mcm.
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