Rechengesetze und Rechenvorteile

Rechengesetze sagen dir, was beim Rechnen erlaubt ist. Sie gelten für alle Zahlen aus der Schule und machen das Kopfrechnen leichter.

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Beim Addieren und Multiplizieren darfst du die Zahlen vertauschen. Das macht Kopfrechnen leichter: 4 · 17 · 25 = 17 · 4 · 25 = 17 · 100 = 1.700. Bei Minus und Geteilt geht das nicht: 8 − 3 = 5, aber 3 − 8 = −5.

Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)

Bei Summen oder Produkten aus mehr als zwei Zahlen darfst du die Klammern frei setzen: (27 + 38) + 12 = 27 + (38 + 12) = 27 + 50 = 77 und (2 · 7) · 5 = 2 · (7 · 5) = 70. Für die Subtraktion gilt das nicht: (10 − 5) − 2 = 3, aber 10 − (5 − 2) = 7.

Identitätsgesetz (neutrale Elemente)

Die Null ändert bei der Addition nichts, die Eins bei der Multiplikation nichts: a + 0 = a und a · 1 = a. Beide heißen neutrale Elemente. Du nutzt das beim Erweitern: 3/4 = 3/4 · 2/2 = 6/8.

Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Es verbindet Mal und Plus: a · (b + c) = a · b + a · c. Die Zahl vor der Klammer multiplizierst du mit jedem Summanden. So rechnest du 7 · 98 = 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686. Umgekehrt klammerst du aus: 6 · 13 + 6 · 7 = 6 · (13 + 7) = 120. Mehr dazu unter Ausmultiplizieren von Klammern und bei den Zerlegungstricks im Einmaleins. Typischer Fehler: 3 · (4 + 5) ist 27 und nicht 3 · 4 + 5 = 17.

Vorteilhaft rechnen

Vorteilhaft rechnen (auch geschickt rechnen) heißt: Du nutzt die drei Gesetze, um eine Aufgabe in einfachere Schritte umzubauen, bevor du rechnest. Das Ergebnis bleibt gleich, nur der Weg wird kürzer. Suche nach Zahlen, die zusammen 10, 100 oder 1.000 ergeben, und nach gleichen Faktoren.

• Vertauschen und zusammenfassen: 37 + 48 + 63 = (37 + 63) + 48 = 100 + 48 = 148.
• Passende Faktoren zuerst: 4 · 29 · 25 = (4 · 25) · 29 = 100 · 29 = 2.900.
• Ausklammern: 19 · 6 + 19 · 4 = 19 · (6 + 4) = 19 · 10 = 190.
• Zerlegen: 99 · 8 = (100 − 1) · 8 = 800 − 8 = 792.

Aufgaben dazu mit Lösungen gibt es auf dem Arbeitsblatt Rechenvorteile nutzen.