Integrales
La integral es la operación inversa de la derivada y mide el área bajo una curva. Aprende la integral indefinida, la tabla de integrales, los métodos de sustitución y por partes, la integral definida y el cálculo de áreas.
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La integral indefinida de una función f es el conjunto de todas sus primitivas, es decir, de las funciones F cuya derivada es f. Se escribe ∫ f(x) dx = F(x) + C, donde C es una constante cualquiera. Por ejemplo, ∫ 2x dx = x² + C, porque la derivada de x² es 2x. La integral definida ∫ab f(x) dx mide el área (con signo) entre la gráfica de f y el eje x, desde x = a hasta x = b.
La página explica la integral indefinida y la tabla de integrales básicas, las propiedades, los métodos de integración por sustitución y por partes, la integral definida con el teorema fundamental del cálculo y el cálculo de áreas, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Antes conviene dominar las derivadas. En alemán: Integralrechnung y el calculador de integrales.
La integral indefinida
Integrar es lo contrario de derivar. Como la derivada de una constante es 0, todas las primitivas de f se diferencian en una constante, la constante de integración C. Dos propiedades ayudan: ∫ k · f dx = k · ∫ f dx, y ∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx.
Tabla de integrales
| Función f(x) | Integral ∫ f(x) dx |
|---|---|
| k (constante) | k · x + C |
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C |
| 1 / x | ln |x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ / ln a + C |
| sen x | −cos x + C |
| cos x | sen x + C |
| 1 / cos² x | tan x + C |
Integración por sustitución
Cuando la función tiene una parte y su derivada, se llama u a esa parte y se sustituye. Los pasos: elegir u, calcular du, reescribir la integral en u, integrar y volver a x.
Integración por partes
Es la regla de la derivada del producto «al revés»: ∫ u dv = u · v − ∫ v du. Se elige u (lo que se simplifica al derivar) y dv (lo que se sabe integrar).
Integral definida y teorema fundamental
La integral definida de f entre a y b se calcula con una primitiva F: ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), que a veces se escribe [F(x)]ab. No hace falta la constante C, porque se cancela.
Área bajo la curva
Si f(x) ≥ 0 en [a, b], el área entre la curva y el eje x es la integral definida. Si f es negativa en algún tramo, la integral cuenta ese tramo como negativo: para el área hay que integrar por separado cada tramo y sumar los valores absolutos.
Errores frecuentes
- Olvidar la constante C en la integral indefinida.
- Usar la fórmula de xⁿ con n = −1: ∫ 1/x dx es ln |x|, no x⁰/0.
- No cambiar los límites o no volver a x al integrar por sustitución.
- Equivocarse en los signos: ∫ sen x dx = −cos x + C.
- Sumar áreas con signo: una función negativa da una integral negativa.
- Restar F(a) − F(b) en lugar de F(b) − F(a).
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué es una integral?
La operación inversa de la derivada. La indefinida da las primitivas de una función; la definida mide el área bajo la curva.
¿Cuál es la tabla de integrales básicas?
Está en la tabla de integrales: potencias, 1/x, eˣ, aˣ, seno, coseno y más.
¿Cómo se integra por sustitución?
Eliges una parte u cuya derivada aparece en la integral, sustituyes u y du, integras y vuelves a x. Mira los ejemplos.
¿Cuándo se usa la integración por partes?
Cuando la función es un producto de dos funciones de distinto tipo, como x · eˣ o x · cos x, o cuando hay un logaritmo.
¿Qué dice el teorema fundamental del cálculo?
Que la integral definida entre a y b es F(b) − F(a), donde F es una primitiva de la función.
¿Cómo se calcula el área bajo una curva?
Con la integral definida entre los dos límites, teniendo en cuenta los tramos donde la función es negativa. Mira la sección de áreas.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: derivadas.
- Siguiente tema: vectores.
- Repaso: límites y función exponencial.
- En alemán: Integralrechnung y el calculador de integrales.
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