Función exponencial
Una función exponencial tiene la variable en el exponente: y = aˣ. Aprende su gráfica, la diferencia entre crecimiento y decrecimiento, el número e, el interés compuesto y a resolver ecuaciones exponenciales.
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Una función exponencial es una función de la forma y = ax, con base a positiva y distinta de 1, en la que la variable x está en el exponente. Por ejemplo, y = 2x vale 1 en x = 0, 2 en x = 1, 4 en x = 2 y 8 en x = 3: cada vez que x aumenta en 1, el valor se multiplica por 2. Por eso la exponencial describe el crecimiento rápido: poblaciones, interés compuesto, desintegración radiactiva.
La página explica la gráfica y las propiedades de la función exponencial, el crecimiento y el decrecimiento, el número e, el interés compuesto, los modelos de duplicación y vida media y cómo resolver ecuaciones exponenciales, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Antes conviene repasar las potencias. En alemán: Exponentialfunktion y el trazador de funciones.
Gráfica y propiedades
Una tabla de valores muestra el comportamiento. Con base 2 (crecimiento) y con base 1/2 (decrecimiento):
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2x | 0,125 | 0,25 | 0,5 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
| (1/2)x | 8 | 4 | 2 | 1 | 0,5 | 0,25 | 0,125 | 0,0625 | 0,03125 |
| Propiedad | Con a > 1 | Con 0 < a < 1 |
|---|---|---|
| Dominio | todos los reales | todos los reales |
| Recorrido | y > 0 | y > 0 |
| Corte con el eje y | (0, 1) | (0, 1) |
| Monotonía | creciente | decreciente |
| Asíntota | y = 0 (hacia la izquierda) | y = 0 (hacia la derecha) |
El número e
El número e ≈ 2,71828… es un número irracional muy especial. Se puede obtener como el valor al que se acerca (1 + 1/n)n cuando n se hace muy grande:
| n | 1 | 10 | 100 | 1000 | 10 000 |
|---|---|---|---|---|---|
| (1 + 1/n)n | 2 | 2,5937 | 2,7048 | 2,7169 | 2,7181 |
La función y = ex se llama exponencial natural y aparece en el crecimiento continuo. Su inversa es el logaritmo natural, que verás en logaritmos.
Interés compuesto
Con interés compuesto, los intereses de cada año se añaden al capital y generan nuevos intereses. Si un capital inicial C₀ crece a una tasa anual r (en decimal), el capital tras t años es
Más sobre intereses y porcentajes: porcentajes.
Crecimiento y decrecimiento exponencial
Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial tiene la incógnita en el exponente. Si se pueden escribir los dos lados como potencias de la misma base, igualas los exponentes.
Cuando no se puede igualar las bases se usan logaritmos: 5x = 20 → x = log 20 / log 5 ≈ 1,861. Está explicado en logaritmos.
Errores frecuentes
- Confundir 2x con x²: con x = 3, 2³ = 8 y 3² = 9.
- Pensar que ax puede ser negativa o cero. Siempre es positiva.
- Multiplicar la base por el exponente: 23 = 8, no 6.
- Usar 5 % como 5 en el interés compuesto: hay que usar 1 + 0,05 = 1,05.
- Sumar en lugar de multiplicar: la exponencial crece multiplicando, no sumando.
- Olvidar los paréntesis en los exponentes: 3x+1 no es 3x + 1.
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué es una función exponencial?
Una función de la forma y = ax en la que la variable está en el exponente y la base a es positiva y distinta de 1.
¿Cómo es la gráfica de una función exponencial?
Pasa por (0, 1), siempre está por encima del eje x, crece (si a > 1) o decrece (si 0 < a < 1) y se acerca al eje x sin tocarlo.
¿Qué es el número e?
Un número irracional de valor aproximado 2,71828, que es la base de la exponencial natural y aparece en el crecimiento continuo.
¿Cómo se calcula el interés compuesto?
Con C = C₀ · (1 + r)t. Mira el ejemplo de 1000 € al 5 %.
¿Cómo se resuelve una ecuación exponencial?
Escribes los dos lados con la misma base e igualas los exponentes. Si no se puede, usas logaritmos.
¿Qué diferencia hay entre crecimiento lineal y exponencial?
El lineal suma siempre la misma cantidad; el exponencial multiplica por el mismo factor. A la larga, el exponencial crece mucho más.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: función cuadrática.
- Siguiente tema: logaritmos, la operación inversa.
- Repaso: potencias y porcentajes.
- En alemán: Exponentialfunktion.
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