Derivadas
La derivada mide cómo cambia una función en cada punto: es la pendiente de su recta tangente. Aprende la definición, la tabla de derivadas, las reglas del producto, del cociente y de la cadena, la recta tangente y los máximos y mínimos.
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La derivada de una función f en un punto a, que se escribe f′(a), mide la rapidez con que cambia f en ese punto y es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto. Se define con un límite: f′(a) = limh→0 (f(a + h) − f(a)) / h. Por ejemplo, para f(x) = x², la derivada es f′(x) = 2x: en x = 3 la pendiente es 6.
La página explica la definición y su significado, la tabla de derivadas de las funciones elementales, las reglas de derivación (suma, producto, cociente y cadena), cómo hallar la recta tangente y cómo usar la derivada para estudiar el crecimiento y buscar máximos y mínimos, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Antes conviene conocer los límites. En alemán: Ableitung y el calculador de derivadas.
Definición e interpretación
La tasa de variación media de f entre a y a + h es (f(a + h) − f(a)) / h, la pendiente de la recta secante que une los dos puntos de la gráfica. Al hacer h cada vez más pequeño, la secante se acerca a la tangente, y su pendiente al valor de la derivada.
Otra interpretación: si s(t) es la posición de un móvil, la derivada s′(t) es su velocidad en cada instante. Con s(t) = 5t², la velocidad es v(t) = 10t, y en t = 3 s es 30 m/s.
Tabla de derivadas
| Función f(x) | Derivada f′(x) | Ejemplo |
|---|---|---|
| c (constante) | 0 | (7)′ = 0 |
| x | 1 | |
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ | (x⁵)′ = 5x⁴ |
| √x | 1 / (2√x) | (√x)′ en x = 4 es 1/4 |
| 1 / x | −1 / x² | |
| eˣ | eˣ | |
| aˣ | aˣ · ln a | (2ˣ)′ = 2ˣ · ln 2 |
| ln x | 1 / x | |
| sen x | cos x | |
| cos x | −sen x | |
| tan x | 1 / cos² x |
Reglas de derivación
- Constante por función: (k · f)′ = k · f′. Suma: (f + g)′ = f′ + g′.
- Producto: (f · g)′ = f′ · g + f · g′.
- Cociente: (f / g)′ = (f′ · g − f · g′) / g².
- Cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x): se deriva la función de fuera y se multiplica por la derivada de lo de dentro.
Recta tangente
La recta tangente a f en el punto de abscisa a pasa por (a, f(a)) y tiene pendiente f′(a): y − f(a) = f′(a) · (x − a).
Crecimiento, máximos y mínimos
El signo de la derivada indica el comportamiento: si f′(x) > 0, la función crece; si f′(x) < 0, decrece. Los posibles máximos y mínimos están donde f′(x) = 0 (puntos críticos). Para decidir, se mira el signo de f′ antes y después, o la segunda derivada f″: si f″ > 0 es un mínimo y si f″ < 0, un máximo.
Errores frecuentes
- Derivar un producto como producto de derivadas: (f · g)′ no es f′ · g′.
- Olvidar la regla de la cadena: (sen 2x)′ = 2 cos 2x, no cos 2x.
- Equivocarse en el signo: (cos x)′ = −sen x.
- Derivar una constante como 1: (7)′ = 0.
- Decir que f′(x) = 0 siempre da un máximo o un mínimo: hay que comprobarlo. En x³, la derivada se anula en 0 y no hay extremo.
- Olvidar elevar al cuadrado el denominador en la derivada del cociente.
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué es una derivada?
La rapidez con que cambia una función en un punto, igual a la pendiente de la recta tangente a su gráfica. Se define como un límite.
¿Cuáles son las derivadas básicas?
Están en la tabla de derivadas: (xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sen x)′ = cos x y (cos x)′ = −sen x.
¿Cómo se deriva un producto y un cociente?
Producto: f′ g + f g′. Cociente: (f′ g − f g′) / g². Mira los ejemplos.
¿Qué es la regla de la cadena?
Para derivar una función compuesta f(g(x)): derivas la de fuera, la evalúas en g(x) y multiplicas por la derivada de g.
¿Cómo se calcula la recta tangente?
Con y − f(a) = f′(a) · (x − a). Mira el ejemplo.
¿Cómo se hallan los máximos y mínimos?
Se resuelve f′(x) = 0 y se comprueba el signo de f′ (o de f″) en cada punto crítico.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: límites.
- Siguiente tema: integrales, la operación inversa.
- Repaso: función cuadrática.
- En alemán: Ableitung y el calculador de derivadas.
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