Vectores
Un vector tiene módulo, dirección y sentido y se describe con sus componentes. Aprende a calcular su módulo, a sumarlos, a multiplicarlos por un número y a usar el producto escalar para hallar ángulos, en el plano y en el espacio.
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Un vector es una cantidad con módulo (longitud), dirección y sentido, que se representa con una flecha. En el plano se describe con dos componentes, v = (v₁, v₂), y en el espacio con tres, v = (v₁, v₂, v₃). El vector que va del punto A(1, 2) al punto B(4, 6) es AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4), y su módulo es √(3² + 4²) = 5. Sirven para describir fuerzas, velocidades y desplazamientos.
La página explica cómo se calculan las componentes y el módulo, la suma, la resta y el producto de un vector por un número (escalar), el producto escalar y el ángulo entre vectores, la ortogonalidad, los vectores en el espacio y una introducción al producto vectorial, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. En alemán: Vektoren y la calculadora de vectores.
Componentes y módulo
Las componentes de un vector indican cuánto avanza en cada eje. El vector con origen A y extremo B se obtiene restando las coordenadas: AB = B − A. Su módulo es la longitud de la flecha y se calcula con el teorema de Pitágoras.
Vector unitario
Un vector unitario tiene módulo 1. Para obtener uno con la dirección y el sentido de v se divide v entre su módulo. Para v = (−6, 8): |v| = 10, y el unitario es (−0,6; 0,8). Comprobación: 0,36 + 0,64 = 1.
Suma, resta y producto por un escalar
La suma y la resta se hacen componente a componente. Geométricamente, la suma u + v es la diagonal del paralelogramo que forman u y v. El producto por un número k estira el vector (si |k| > 1), lo encoge (si |k| < 1) y le cambia el sentido (si k < 0).
Producto escalar
El producto escalar de u = (u₁, u₂) y v = (v₁, v₂) es el número u · v = u₁ · v₁ + u₂ · v₂. También es igual a |u| · |v| · cos θ, con θ el ángulo entre los vectores. De ahí se despeja el ángulo: cos θ = (u · v) / (|u| · |v|).
Vectores en el espacio
En el espacio se añade una tercera componente y todo funciona igual: AB = B − A, |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²) y u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃.
Producto vectorial (introducción)
En el espacio existe otro producto, el producto vectorial u × v, cuyo resultado es un vector perpendicular a u y a v, con módulo |u| · |v| · sen θ. Para u = (u₁, u₂, u₃) y v = (v₁, v₂, v₃): u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁). Por ejemplo, (2, 1, 0) × (1, 3, 0) = (0, 0, 2 · 3 − 1 · 1) = (0, 0, 5). Su módulo es el área del paralelogramo que forman u y v.
Errores frecuentes
- Calcular AB como A − B: el vector va de A a B, así que AB = B − A.
- Sumar los módulos en lugar de las componentes: |u + v| no es |u| + |v| (salvo que tengan la misma dirección y sentido).
- Creer que el producto escalar es un vector. Es un número.
- Olvidar la raíz cuadrada al calcular el módulo.
- Confundir ortogonal con paralelo: ortogonales tienen u · v = 0; paralelos tienen componentes proporcionales.
- Olvidar que el ángulo entre vectores se calcula con el coseno, no con la tangente.
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué es un vector?
Una cantidad con módulo, dirección y sentido, que se describe con sus componentes. Ejemplos: una fuerza o una velocidad.
¿Cómo se calcula el módulo de un vector?
Con la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. El módulo de (3, 4) es 5.
¿Cómo se suman dos vectores?
Sumando las componentes correspondientes. Geométricamente, es la diagonal del paralelogramo que forman.
¿Qué es el producto escalar?
El número u₁v₁ + u₂v₂ (+ u₃v₃ en el espacio), igual a |u| |v| cos θ. Sirve para calcular ángulos y comprobar la ortogonalidad.
¿Cómo se sabe si dos vectores son perpendiculares?
Si su producto escalar es 0. Mira el ejemplo de ortogonalidad.
¿Qué diferencia hay entre el producto escalar y el vectorial?
El escalar da un número y existe en el plano y en el espacio; el vectorial da un vector perpendicular a los dos y solo se define en el espacio de tres dimensiones.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: integrales.
- Siguiente tema: matrices.
- Repaso: teorema de Pitágoras y trigonometría.
- En alemán: Vektoren y la calculadora de vectores.
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