Función lineal
Una función lineal tiene la forma y = m · x + n y su gráfica es una recta. Aprende qué son la pendiente y la ordenada en el origen, a dibujar la gráfica, a hallar la ecuación de la recta por dos puntos y a usarla en problemas.
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Una función lineal es una función cuya gráfica es una recta y cuya fórmula es y = m · x + n. El número m es la pendiente, que indica cuánto sube o baja la recta al avanzar una unidad hacia la derecha, y n es la ordenada en el origen, el valor de y donde la recta corta al eje vertical. Si n = 0, la fórmula es y = m · x y la función se llama de proporcionalidad directa. En muchos libros, y = m · x + n con n distinto de cero se llama función afín.
La página explica la pendiente y la ordenada en el origen, cómo hacer la tabla de valores y dibujar la gráfica, cómo hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, cuándo dos rectas son paralelas o perpendiculares, cómo se usa la función lineal en problemas, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Con una calculadora puedes dibujarlas: en alemán hay un trazador de funciones y el calculador de funciones lineales. En alemán: lineare Funktionen.
Pendiente y ordenada en el origen
La función y = 2x + 1 sube 2 unidades por cada unidad que avanza en x (m = 2) y corta el eje y en el punto (0, 1) (n = 1). Una pendiente grande significa una recta muy inclinada; una pendiente negativa, una recta que baja de izquierda a derecha.
Tabla de valores y gráfica
Para dibujar la gráfica, haces una tabla de valores: eliges algunos valores de x, calculas y y marcas los puntos. Como es una recta, bastan dos puntos, pero con tres compruebas que no hay errores.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | −3 | −1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
Otra forma: marca el punto (0, n) y desde él avanza 1 a la derecha y sube m (o baja, si m es negativa). Para y = −x + 3: marcas (0, 3) y, avanzando 1 a la derecha, bajas 1, hasta (1, 2).
Cortes con los ejes
Con el eje y: x = 0 da el punto (0, n). Con el eje x: y = 0 da m · x + n = 0, de donde x = −n / m.
Ecuación de la recta por dos puntos
Si conoces dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂), calculas primero la pendiente m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) y después n sustituyendo uno de los puntos en y = m · x + n.
Rectas paralelas y perpendiculares
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente: y = 3x + 2 e y = 3x − 5 no se cortan nunca. Son perpendiculares si el producto de sus pendientes es −1: y = 2x e y = −x/2 se cruzan formando un ángulo recto, porque 2 · (−1/2) = −1. Para ver dónde se cortan dos rectas se resuelve el sistema de ecuaciones que forman.
Problemas con funciones lineales
La función lineal modela situaciones con un cambio constante: precios con cuota fija, movimientos a velocidad constante, ahorros semanales.
Errores frecuentes
- Confundir m y n: m es la inclinación y n el punto de corte con el eje y.
- Calcular la pendiente con las coordenadas en distinto orden: hay que restar y y x en el mismo orden (y₂ − y₁ sobre x₂ − x₁).
- Olvidar el signo de la pendiente: una recta que baja tiene m negativa.
- Pensar que y = x² es lineal. Una función con x² no es lineal; su gráfica es una parábola.
- Marcar mal las coordenadas: primero x (horizontal) y luego y (vertical).
- Creer que paralelas tienen pendientes opuestas: tienen la misma.
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué es una función lineal?
Una función de la forma y = m · x + n, cuya gráfica es una recta. Si n = 0 es una función de proporcionalidad directa.
¿Qué es la pendiente de una recta?
El cambio de y por cada unidad que aumenta x. Se calcula como (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
¿Qué es la ordenada en el origen?
El valor de y cuando x = 0, es decir, el punto donde la recta corta el eje vertical.
¿Cómo se halla la ecuación de una recta que pasa por dos puntos?
Calculas la pendiente y despejas n sustituyendo un punto. Hay dos ejemplos resueltos.
¿Cuál es la diferencia entre función lineal y función afín?
En algunos libros, lineal es y = m · x (pasa por el origen) y afín es y = m · x + n. En otros, ambas se llaman lineales. La gráfica es siempre una recta.
¿Qué relación hay entre las ecuaciones lineales y las funciones lineales?
La ecuación y = m · x + n relaciona dos variables, y todos sus puntos (x, y) forman una recta. Resolver una ecuación de primer grado equivale a hallar donde la recta corta al eje x.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: sistemas de ecuaciones.
- Siguiente tema: álgebra.
- Para plantear y resolver: ecuaciones.
- En alemán: lineare Funktionen, trazador de funciones y calculador de funciones lineales.
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