Rechner · Klasse 7 bis 11
Lineare Funktionen: Geradengleichung, Steigung und Schnittpunkt
Aus zwei Punkten oder einem Punkt und der Steigung bestimmt der Rechner die Gleichung y = mx + b, exakt mit Brüchen. Er zeichnet die Gerade, nennt Nullstelle und Steigungswinkel und berechnet im Erweitert-Modus Schnittpunkte, Senkrechte und Abstände.
So benutzt du den Rechner
Wähle aus, was du kennst: zwei Punkte, einen Punkt und die Steigung oder direkt m und b. Koordinaten dürfen Brüche und Dezimalzahlen sein. Der Rechner gibt die Gleichung immer exakt an, also y = −2/3 x + 7/3 statt mit gerundeten Kommazahlen. Im Erweitert-Bereich trägst du eine zweite Gerade oder einen Punkt ein.
Die Geradengleichung y = mx + b
Jede nicht senkrechte Gerade hat die Gleichung y = mx + b. Die Steigung m sagt, um wie viel y wächst, wenn x um 1 zunimmt. Der y-Achsenabschnitt b ist der y-Wert an der Stelle x = 0, dort schneidet die Gerade die y-Achse.
Das Steigungsdreieck
Die Steigung lässt sich direkt im Graphen ablesen: Gehe von einem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts, dann musst du m nach oben (oder bei negativem m nach unten) gehen, um wieder auf die Gerade zu treffen. Bei Brüchen wie m = 2/3 ist es bequemer, 3 nach rechts und 2 nach oben zu gehen. Der Steigungswinkel α zur x-Achse ergibt sich aus tan α = m. Eine Straße mit 10 % Steigung hat m = 0,1 und damit einen Winkel von nur etwa 5,7°.
Erweitert: zwei Geraden
Zwei Geraden in der Ebene sind entweder parallel (gleiche Steigung, verschiedenes b), identisch oder sie schneiden sich in genau einem Punkt. Den Schnittpunkt findest du, indem du die beiden Terme gleichsetzt. Stehen die Geraden senkrecht aufeinander, ist das Produkt ihrer Steigungen −1: Zu m = 2 gehört die senkrechte Steigung −1/2. Für mehr als zwei Gleichungen gibt es den Gleichungssystem-Rechner.
Häufige Fragen
Was ist mit senkrechten Geraden?
Haben beide Punkte dieselbe x-Koordinate, ist die Gerade senkrecht, etwa x = 2. Sie ist keine Funktion, weil zu einem x-Wert unendlich viele y-Werte gehören, und hat keine Steigung.
Was bedeutet eine negative Steigung?
Die Gerade fällt von links nach rechts. Bei m = 0 verläuft sie waagerecht, bei m > 0 steigt sie.
Was ist der Unterschied zwischen linear und proportional?
Proportionale Zuordnungen sind lineare Funktionen mit b = 0, ihre Geraden gehen durch den Ursprung. Bei b ≠ 0 kommt ein fester Anteil hinzu, etwa die Grundgebühr beim Taxi.