Logaritmos
El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para obtenerlo: log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8. Aprende la definición, las propiedades, el cambio de base, el logaritmo natural y las ecuaciones logarítmicas.
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El logaritmo en base a de un número b es el exponente c al que hay que elevar a para obtener b: loga b = c significa ac = b. Por ejemplo, log2 8 = 3 porque 23 = 8, y log10 1000 = 3 porque 103 = 1000. El logaritmo es la operación inversa de la exponencial: si la exponencial pregunta «¿cuánto da 2 elevado a 3?», el logaritmo pregunta «¿a qué exponente hay que elevar 2 para obtener 8?».
La página explica la definición, los casos particulares de los logaritmos decimales y naturales, las propiedades, el cambio de base, cómo resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales y algunas aplicaciones, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Antes conviene conocer las potencias y la función exponencial. En alemán: Logarithmen y la calculadora de logaritmos.
Definición de logaritmo
La igualdad loga b = c es otra forma de escribir ac = b. La base a es positiva y distinta de 1, y el número b tiene que ser positivo, porque una potencia de base positiva nunca es cero ni negativa.
Casos particulares: loga 1 = 0 (porque a0 = 1) y loga a = 1 (porque a1 = a).
Logaritmos decimales y naturales
Los dos logaritmos que traen las calculadoras son el decimal, de base 10 (tecla log), y el natural, de base e ≈ 2,71828 (tecla ln). En muchos libros, «log» sin base significa base 10.
| x | log x | ln x |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | 0,3010 | 0,6931 |
| 3 | 0,4771 | 1,0986 |
| 5 | 0,6990 | 1,6094 |
| 10 | 1 | 2,3026 |
| 100 | 2 | 4,6052 |
| 1000 | 3 | 6,9078 |
Observa que el logaritmo decimal de una potencia de 10 es su exponente, y que ln e = 1.
Propiedades de los logaritmos
| Propiedad | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto | loga(x · y) = loga x + loga y | log 5 + log 20 = log 100 = 2 |
| Cociente | loga(x / y) = loga x − loga y | log3 81 − log3 9 = 4 − 2 = 2 |
| Potencia | loga(xn) = n · loga x | 3 · log2 4 = log2 64 = 6 |
| Raíz | loga(n√x) = loga x / n | log2 √8 = 3/2 |
Cambio de base
Las calculadoras solo tienen log y ln. Para calcular un logaritmo en otra base se usa la fórmula del cambio de base:
Ecuaciones logarítmicas
En una ecuación logarítmica la incógnita está dentro de un logaritmo. Se aísla el logaritmo y se pasa a potencia, y al final se comprueba que los argumentos sean positivos.
Ecuaciones exponenciales con logaritmos
Cuando la incógnita está en un exponente y no se pueden igualar las bases, se toman logaritmos en los dos lados: ax = b → x = log b / log a.
Aplicaciones
Errores frecuentes
- Calcular el logaritmo de un número negativo o de 0: no existe.
- Escribir log(a + b) = log a + log b. Solo vale log(a · b) = log a + log b.
- Confundir log(xn) con (log x)n: son distintos.
- Olvidar comprobar las soluciones de una ecuación logarítmica: los argumentos deben ser positivos.
- Mezclar bases al aplicar las propiedades: solo valen con la misma base.
- Invertir el cambio de base: loga b = log b / log a, no log a / log b.
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué es un logaritmo?
El exponente al que hay que elevar la base para obtener un número: log2 8 = 3 porque 23 = 8.
¿Cuáles son las propiedades de los logaritmos?
Producto, cociente y potencia: el logaritmo de un producto es la suma de logaritmos, el de un cociente es la resta y el de una potencia es el exponente por el logaritmo. Están en la tabla de propiedades.
¿Qué es el logaritmo natural?
El logaritmo en base e ≈ 2,71828, que se escribe ln. Es el inverso de la exponencial ex.
¿Cómo se hace un cambio de base?
Con loga b = log b / log a, usando la tecla log o ln de la calculadora.
¿Por qué no existe el logaritmo de un número negativo?
Porque una potencia de base positiva siempre da un resultado positivo, así que ningún exponente produce un número negativo ni 0.
¿Cómo se resuelve una ecuación logarítmica?
Se aíslan los logaritmos, se aplican las propiedades, se pasa a forma de potencia y se comprueba que los argumentos sean positivos. Mira los ejemplos.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: función exponencial.
- Siguiente tema: trigonometría.
- Repaso: potencias.
- En alemán: Logarithmen y la calculadora de logaritmos.
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