Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist die Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, in der jede Zahl die Summe der beiden vorherigen ist. Ihre Glieder heißen Fibonacci-Zahlen. Du brauchst nur die ersten beiden Zahlen und die Regel „addiere die letzten zwei“, dann setzt du die Folge beliebig weit fort.

Benannt ist sie nach Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, der sie 1202 an einer Kaninchenaufgabe vorrechnete. Du bildest die Folge selbst, rechnest mit der rekursiven Formel und der Formel von Binet und prüfst, was an den Naturbeispielen stimmt. Wer Leonardo war, steht bei Fibonacci, Folgen allgemein erklärt Folgen und Grenzwerte.

So bildest du die Fibonacci-Folge

Schreibe zwei Einsen auf. Die dritte Zahl ist ihre Summe: 1 + 1 = 2. Die vierte ist die Summe der zweiten und dritten: 1 + 2 = 3. Dann folgen 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 und so weiter.

Manche Bücher beginnen schon mit F₀ = 0 (0, 1, 1, 2, 3, …). Ab F₁ sind beide Schreibweisen gleich.

Fibonacci-Zahlen: Tabelle der ersten 50 Glieder

Die Fibonacci-Zahlen bis 100 sind 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 und 89. Die nächste, 144, ist schon größer. Die Tabelle zeigt die ersten 50 Glieder.

F₁₀₀ hat 21 Stellen: 354.224.848.179.261.915.075. Alle fünf Glieder wird die Zahl etwa 11-mal so groß, im Schnitt kommt also alle fünf Glieder eine Stelle dazu.

Die Kaninchenaufgabe aus dem Liber abaci

In Europa steht die Folge zum ersten Mal in Leonardos Rechenbuch Liber abaci von 1202 (Kapitel 12). Er fragt sinngemäß: Ein Mann hält ein Kaninchenpaar in einem umzäunten Gehege. Wie viele Paare entstehen daraus in einem Jahr, wenn jedes Paar jeden Monat ein neues Paar bekommt und die neuen Paare vom zweiten Monat nach ihrer Geburt an ebenfalls Nachwuchs haben?

Wir nehmen an: Das Startpaar ist erwachsen, kein Tier stirbt. Ein neugeborenes Paar ist im folgenden Monat noch zu jung und bekommt erst im Monat danach sein erstes Paar.

Nach zwölf Monaten sind es 377 Paare, das Startpaar eingerechnet. Neu geboren werden so viele Paare, wie schon erwachsen sind, also alle, die es zwei Monate vorher gab. Die Gesamtzahl ist deshalb die Summe der beiden Vormonate. Nach t Monaten gibt es F_t+2 Paare, die 377 ist also F₁₄ und nicht F₁₂.

Nach 60 Monaten ergäbe die Regel F₆₂ = 4.052.739.537.881 Paare, mehr als vier Billionen. Mehr zum Buch steht bei Leonardo von Pisa und der Liber Abaci.

Formel der Fibonacci-Folge: rekursiv und explizit

Die rekursive Formel

Die rekursive Formel kennst du schon: F_n = F_n−1 + F_n−2 mit F₁ = F₂ = 1. Ihr Nachteil: Für F₄₀ musst du zuerst alle Glieder davor ausrechnen. Beispiel: F₁₅ = F₁₄ + F₁₃ = 377 + 233 = 610.

Die explizite Formel von Binet

Eine explizite Formel liefert F_n direkt aus n. Für die Fibonacci-Folge heißt sie Formel von Binet, nach Jacques Binet (1843). Schon Abraham de Moivre (1718) und Daniel Bernoulli kannten sie.

Der Summand ψⁿ ist für größere n winzig, weil ψ betragsmäßig kleiner als 1 ist. Deshalb ist F_n einfach die ganze Zahl, die φⁿ / √5 am nächsten liegt. Für n = 15 rechnest du φ¹⁵ / √5 ≈ 609,9997, gerundet 610 = F₁₅.

Wie kommt man auf die Formel? (Oberstufe)

1. Suche Folgen qⁿ mit qⁿ = qⁿ⁻¹ + qⁿ⁻². Teile durch qⁿ⁻², dann bleibt q² = q + 1.
2. Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen q = (1 ± √5) / 2, also φ und ψ.
3. Jede Mischung a · φⁿ + b · ψⁿ erfüllt die Regel ebenfalls.
4. Passe a und b an F₀ = 0 und F₁ = 1 an: Aus a + b = 0 und a · φ + b · ψ = 1 folgt a = 1 / √5, b = −1 / √5.

Fibonacci-Zahlen und der goldene Schnitt

Teile jede Fibonacci-Zahl durch ihre Vorgängerin. Die Quotienten springen erst hin und her, kommen dann aber einer festen Zahl immer näher.

Sie pendeln über und unter φ ≈ 1,618034, der Zahl des goldenen Schnitts. Warum, siehst du in einer Zeile: Nähert sich q = F_n+1 / F_n einem festen Wert, folgt aus F_n+1 = F_n + F_n−1 die Gleichung q = 1 + 1 / q, also q² = q + 1. Ihre positive Lösung ist φ. Johannes Kepler bemerkte den Zusammenhang schon 1611. Was am goldenen Schnitt belegt ist und was Legende, steht im Beitrag Der Goldene Schnitt: was stimmt und was Mythos ist.

Einfache Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen

Jede dritte Zahl ist gerade

Ungerade plus ungerade ist gerade, ungerade plus gerade ist ungerade. Die Folge beginnt mit ungerade, ungerade, also entsteht das Muster u, u, g, u, u, g, … Deshalb sind F₃, F₆, F₉, … gerade, zum Beispiel F₁₂ = 144 und F₃₀ = 832.040.

Die Summe der ersten n Glieder

Beispiel für n = 10: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, und F₁₂ − 1 = 144 − 1 = 143. Der Grund: Aus der Bildungsregel folgt F_k = F_k+2 − F_k+1. Schreibst du so jedes Glied auf, heben sich fast alle Zahlen weg, es bleibt F_n+2 − F₂ = F_n+2 − 1. Ein zweiter Beweis geht mit vollständiger Induktion.

Der größte gemeinsame Teiler

Für den größten gemeinsamen Teiler (ggT) gilt ggT(F_m, F_n) = F_{ggT(m, n)}. Beispiel: ggT(12, 18) = 6, also ggT(F₁₂, F₁₈) = F₆ = 8. Probe: 144 = 8 · 18 und F₁₈ = 2.584 = 8 · 323, und 18 und 323 haben keinen gemeinsamen Teiler. Da ggT(n, n + 1) = 1 und F₁ = 1 ist, sind benachbarte Fibonacci-Zahlen immer teilerfremd.

Die Fibonacci-Spirale

Quadrate mit den Seitenlängen 1, 1, 2, 3, 5, 8 und 13 passen lückenlos zu einem Rechteck zusammen. Jede Seitenlänge ist die Summe der beiden vorigen, also passt das neue Quadrat genau an die lange Seite des bisherigen Rechtecks.

Auf Karopapier zeichnest du erst zwei Quadrate der Seite 1 nebeneinander. Dann legst du Quadrate der Seiten 2, 3, 5, 8 und 13 jeweils an die lange Seite des Rechtecks und drehst dabei immer eine Viertelumdrehung weiter. In jedes Quadrat kommt ein Viertelkreis, dessen Radius die Seitenlänge ist, sodass die Bögen aneinander anschließen.

Jeder Bogen ist etwa 1,6-mal so groß wie der vorige. Darum gleicht die Figur der goldenen Spirale, die pro Vierteldrehung um den Faktor φ wächst. Das Rechteck hat 13 · 21 = 273 Kästchen, ebenso groß ist die Summe der Quadrate 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169. Allgemein gilt F₁² + … + F_n² = F_n · F_n+1.

Fibonacci-Zahlen in der Natur: was stimmt, was nicht

Am bekanntesten ist die Sonnenblume. Im Blütenkorb siehst du zwei Scharen von Spiralen, die einen im Uhrzeigersinn, die anderen dagegen. Zählst du beide, findest du oft zwei benachbarte Fibonacci-Zahlen, etwa 34 und 55 oder 55 und 89. Bei Kiefernzapfen sind es meist 5 und 8 oder 8 und 13.

Der Grund liegt im Wachstum. Neue Kerne entstehen am Wachstumspunkt jeweils um denselben Winkel gedreht. Bei etwa 137,5° liegen keine zwei Kerne übereinander, die Fläche wird gleichmäßig gefüllt. Dieser goldene Winkel ist 360° / φ² ≈ 137,508°. Er hängt mit der Folge zusammen: Multiplizierst du 360° mit Brüchen F_n / F_n+2, pendeln die Ergebnisse um ihn herum. 2/5 ergibt 144°, 3/8 ergibt 135°, 21/55 ergibt 137,45°.

Die Natur hält sich aber nicht an die Regel. 2016 zählten Jonathan Swinton, Erinma Ochu und viele Helferinnen und Helfer 657 Sonnenblumen aus. In der verlässlichsten Teilmenge waren 565 von 768 Spiralzahlen Fibonacci-Zahlen, knapp drei Viertel. Weitere 67 gehörten zu verwandten Folgen wie den Lucas-Zahlen 2, 1, 3, 4, 7, 11, … (gleiche Regel, andere Startwerte). Der Rest passte in kein Muster.

Typische Fehler

Übungen mit Lösungen

Mehr Folgenaufgaben bietet das Arbeitsblatt Zahlenfolgen üben, der Folgenrechner erkennt die Fibonacci-Regel in Zahlenreihen.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Heinz Lüneburg: Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers, 2. Auflage, BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1993.
• Parmanand Singh: The So-called Fibonacci Numbers in Ancient and Medieval India, in: Historia Mathematica 12 (1985), S. 229–244.
• Jonathan Swinton, Erinma Ochu u. a.: Novel Fibonacci and non-Fibonacci structure in the sunflower, in: Royal Society Open Science 3 (2016), Artikel 160091 (englisch)
• Ron Knott: The Fibonacci Numbers and Golden Section in Nature (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Leonardo Pisano Fibonacci (englisch)
• Wikipedia: Fibonacci-Folge