Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci (también llamada serie o secuencia de Fibonacci) es la lista de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …, en la que cada número es la suma de los dos anteriores. Sus términos se llaman números de Fibonacci. Solo necesitas los dos primeros y la regla «suma los dos últimos» para continuarla todo lo que quieras.

Lleva el nombre de Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, que la usó en 1202 en un problema sobre conejos. Aquí aprendes a formarla, ves la tabla de los primeros 50 números, calculas con la fórmula recursiva y con la de Binet, dibujas la espiral y compruebas qué hay de cierto en lo que se cuenta sobre la naturaleza. Quién fue Leonardo se explica en la biografía de Fibonacci (en alemán), y las sucesiones en general en Folgen und Grenzwerte (en alemán).

Cómo se forma la sucesión de Fibonacci

Escribe dos unos. El tercer número es su suma: 1 + 1 = 2. El cuarto es la suma del segundo y del tercero: 1 + 2 = 3. Después vienen 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 y así sin fin.

Muchos libros empiezan antes, con F₀ = 0 (0, 1, 1, 2, 3, …). A partir de F₁ las dos versiones son iguales.

¿Sucesión, serie, secuencia o progresión?

En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de números y una serie es la suma de los términos de una sucesión. Por eso, hablando con rigor, lo correcto es «sucesión de Fibonacci». En el uso diario, «serie de Fibonacci» y «secuencia de Fibonacci» significan lo mismo y todo el mundo las entiende. Tampoco es una «progresión» en sentido estricto: en una progresión aritmética la diferencia es constante y en una geométrica lo es el cociente, y en la de Fibonacci no es constante ni una cosa ni la otra.

Números de Fibonacci: tabla de los primeros 50

Los números de Fibonacci hasta 100 son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 y 89. El siguiente, 144, ya los pasa. La tabla muestra los primeros 50 términos (lista de números de Fibonacci con su lugar).

F₁₀₀ tiene 21 cifras: 354 224 848 179 261 915 075. Cada cinco términos el número se multiplica por 11 aproximadamente, así que en promedio se añade una cifra cada cinco términos.

El problema de los conejos del Liber abaci

En Europa la sucesión aparece por primera vez en el libro de cálculo Liber abaci, que Leonardo escribió en 1202 (capítulo 12). Plantea, en esencia, lo siguiente: un hombre tiene una pareja de conejos en un recinto cerrado. ¿Cuántas parejas nacen de ella en un año si cada pareja tiene cada mes una pareja nueva y las parejas nuevas empiezan a tener crías a partir del segundo mes de vida?

Suponemos que la pareja inicial es adulta y que ningún conejo muere. Una pareja recién nacida es demasiado joven el mes siguiente y tiene su primera pareja de crías un mes después.

Al cabo de doce meses hay 377 parejas, contando la pareja inicial. Nacen tantas parejas como parejas adultas había dos meses antes, y por eso el total es la suma de los dos meses anteriores. Después de t meses hay F_t+2 parejas: el 377 es F₁₄, no F₁₂. Con 60 meses saldrían F₆₂ = 4 052 739 537 881 parejas, más de cuatro billones.

Fórmula de la sucesión de Fibonacci: recursiva y explícita

La fórmula recursiva

Ya la conoces: F_n = F_n−1 + F_n−2 con F₁ = F₂ = 1. Su inconveniente es que, para F₄₀, tienes que calcular antes todos los términos anteriores. Ejemplo: F₁₅ = F₁₄ + F₁₃ = 377 + 233 = 610.

La fórmula explícita de Binet

Una fórmula explícita da F_n, el enésimo número de Fibonacci, directamente a partir de n. En la sucesión de Fibonacci se llama fórmula de Binet, por Jacques Binet (1843). Abraham de Moivre (1718) y Daniel Bernoulli ya la conocían.

El sumando ψⁿ es diminuto para n grande, porque ψ es menor que 1 en valor absoluto. Por eso F_n es simplemente el número entero más cercano a φⁿ / √5. Para n = 15: φ¹⁵ / √5 ≈ 609,9997, que redondeado es 610 = F₁₅.

¿Cómo se llega a la fórmula? La ecuación característica (Bachillerato)

1. Busca sucesiones de la forma qⁿ que cumplan qⁿ = qⁿ⁻¹ + qⁿ⁻². Divide entre qⁿ⁻² y queda q² = q + 1.
2. Esta ecuación de segundo grado, q² − q − 1 = 0, es la ecuación característica de la sucesión. Tiene las soluciones q = (1 ± √5) / 2, es decir, φ y ψ.
3. Cualquier combinación a · φⁿ + b · ψⁿ también cumple la regla.
4. Ajusta a y b a F₀ = 0 y F₁ = 1: de a + b = 0 y a · φ + b · ψ = 1 sale a = 1 / √5 y b = −1 / √5.

Cómo calcularla con un programa

Para programarla basta un bucle: a, b = 0, 1 y, repetido n veces, a, b = b, a + b; al final a vale F_n. Ese es el algoritmo de la sucesión de Fibonacci. En Python, una función que devuelve el enésimo número queda así:

def fib(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

print([fib(n) for n in range(1, 11)])

La última línea muestra [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55], y fib(100) devuelve 354224848179261915075, porque Python calcula con enteros de cualquier tamaño. La versión recursiva directa, que llama a fib(n-1) + fib(n-2), es mucho más lenta: para F₃₀ hace 2 692 537 llamadas, mientras que el bucle da 30 pasos. Es un ejemplo clásico para enseñar por qué conviene guardar los resultados ya calculados. Si usas la fórmula de Binet con los decimales habituales de un ordenador (doble precisión), el resultado deja de ser exacto a partir de F₇₁, porque el ordenador redondea.

Fibonacci y el número áureo: la proporción áurea

Divide cada número de Fibonacci entre el anterior. Los cocientes saltan primero por encima y por debajo, pero se acercan cada vez más a un valor fijo.

Oscilan alrededor de φ ≈ 1,618034, el número áureo (también llamado proporción áurea, razón áurea o sección áurea). El motivo se ve en una línea: si q = F_n+1 / F_n tiende a un valor fijo, de F_n+1 = F_n + F_n−1 sale q = 1 + 1 / q, es decir, q² = q + 1. Su solución positiva es φ. Johannes Kepler notó la relación en 1611. Qué es cierto y qué es leyenda en torno al número áureo se explica en Der Goldene Schnitt: was stimmt und was Mythos ist (en alemán).

Propiedades sencillas de los números de Fibonacci

Uno de cada tres es par

Impar más impar da par, e impar más par da impar. La sucesión empieza con impar, impar, así que el patrón es i, i, p, i, i, p, … Por eso F₃, F₆, F₉, … son pares: por ejemplo F₁₂ = 144 y F₃₀ = 832 040.

La suma de los primeros n términos

Ejemplo con n = 10: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, y F₁₂ − 1 = 144 − 1 = 143. La razón: de la regla se deduce F_k = F_k+2 − F_k+1. Si escribes así cada término, casi todo se cancela y queda F_n+2 − F₂ = F_n+2 − 1.

El máximo común divisor

Para el máximo común divisor (mcd) se cumple mcd(F_m, F_n) = F_{mcd(m, n)}. Ejemplo: mcd(12, 18) = 6, así que mcd(F₁₂, F₁₈) = F₆ = 8. Comprobación: 144 = 8 · 18 y F₁₈ = 2584 = 8 · 323, y 18 y 323 no tienen divisores comunes. Como mcd(n, n + 1) = 1 y F₁ = 1, dos números de Fibonacci consecutivos son siempre primos entre sí.

La espiral de Fibonacci

Cuadrados de lados 1, 1, 2, 3, 5, 8 y 13 encajan sin huecos en un rectángulo. Cada lado es la suma de los dos anteriores, así que el cuadrado nuevo cabe justo en el lado largo del rectángulo anterior.

En papel cuadriculado dibuja primero dos cuadrados de lado 1 uno junto a otro. Después añade cuadrados de lado 2, 3, 5, 8 y 13, cada uno pegado al lado largo del rectángulo y girando siempre un cuarto de vuelta. Dentro de cada cuadrado traza un cuarto de círculo cuyo radio es el lado, de modo que los arcos se unan.

Cada arco es unas 1,6 veces mayor que el anterior. Por eso la figura se parece a la espiral áurea, que crece un factor φ en cada cuarto de vuelta, aunque no es exactamente igual: es una aproximación hecha con arcos de circunferencia. El rectángulo tiene 13 · 21 = 273 cuadritos, y esa es también la suma de las áreas 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169. En general F₁² + … + F_n² = F_n · F_n+1.

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza: qué es cierto y qué no

El ejemplo más conocido es el girasol. En el disco de las semillas ves dos familias de espirales, unas en el sentido de las agujas del reloj y otras en el contrario. Si las cuentas, a menudo obtienes dos números de Fibonacci consecutivos, como 34 y 55 o 55 y 89. En las piñas suelen ser 5 y 8 o 8 y 13.

La causa está en el crecimiento. Las semillas nuevas se forman en el punto de crecimiento, cada una girada el mismo ángulo respecto a la anterior. Con unos 137,5° no hay dos semillas una sobre otra y la superficie se llena de manera uniforme. Este ángulo áureo es 360° / φ² ≈ 137,508°. Se relaciona con la sucesión: si multiplicas 360° por fracciones F_n / F_n+2, los resultados oscilan alrededor de él. 2/5 da 144°, 3/8 da 135° y 21/55 da 137,45°.

Pero la naturaleza no sigue la regla siempre. En 2016 Jonathan Swinton, Erinma Ochu y muchos colaboradores contaron 657 girasoles. En el subconjunto más fiable, 565 de 768 números de espirales eran números de Fibonacci, casi tres cuartos. Otros 67 pertenecían a sucesiones emparentadas, como los números de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, … (la misma regla con otros valores iniciales). El resto no encajaba en ningún patrón.

¿Para qué sirve la sucesión de Fibonacci?

• En matemáticas: es el ejemplo más sencillo de una sucesión recursiva y enlaza con el número áureo, las fracciones continuas y la teoría de números.
• En informática: sirve para enseñar recursión y programación con resultados guardados. Además, las «pilas de Fibonacci» (Fibonacci heaps), una estructura de datos publicada por Michael Fredman y Robert Tarjan en 1987, deben su nombre a que los números de Fibonacci aparecen en el análisis de su rapidez.
• En biología: describe bastante bien cómo se disponen hojas, semillas y escamas en muchas plantas, con las excepciones vistas arriba.
• En el arte y la arquitectura: algunos artistas la usan a propósito. Mario Merz, por ejemplo, puso números de la sucesión en neón en obras como 610 Function of 15. Las afirmaciones de que obras antiguas «esconden» la sucesión suelen carecer de pruebas, y el arquitecto Le Corbusier sí basó conscientemente en el número áureo su sistema de medidas, el Modulor.

La sucesión de Fibonacci en la vida cotidiana, el arte y la arquitectura

En la vida cotidiana aparece menos de lo que se suele contar, pero hay usos reales que puedes comprobar tú mismo.

• De kilómetros a millas: una milla son 1,609344 km, un valor muy cercano a φ. Por eso dos números de Fibonacci seguidos sirven de conversor aproximado: 5 millas son unos 8 km, 8 millas unos 13 km, 13 millas unos 21 km y 21 millas unos 34 km. Los valores exactos son 8,05, 12,87, 20,92 y 33,80 km. Para ir de kilómetros a millas, baja un paso: 21 km son unas 13 millas (en realidad, 13,05).
• Estimar tareas en equipo: en el desarrollo de software, el planning poker usa cartas con una escala parecida a la de Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8, 13, …). Cuanto mayor es una tarea, menos sentido tiene discutir si cuesta 12 o 13 unidades.
• Arte: el artista Mario Merz puso números de la sucesión en neón en obras como 610 Function of 15. Aquí la sucesión es una decisión del artista, no una casualidad.
• Arquitectura: Le Corbusier basó conscientemente en el número áureo su sistema de medidas, el Modulor. Que el Partenón, la Gioconda o las catedrales «escondan» la sucesión es otra cosa: casi siempre se apoya en medidas escogidas a posteriori, y según dónde midas, casi cualquier edificio encaja.

Ejercicios con soluciones

Si quieres practicar con más sucesiones y con la regla de formación, en alemán tienes el Folgenrechner (calculadora de sucesiones) y las hojas de Zahlenfolgen üben.

Preguntas frecuentes

Fuentes y lecturas recomendadas

• Wikipedia: Sucesión de Fibonacci
• MacTutor History of Mathematics: Leonardo Pisano Fibonacci (en inglés)
• Parmanand Singh: The So-called Fibonacci Numbers in Ancient and Medieval India, Historia Mathematica 12 (1985), pp. 229–244 (en inglés).
• Jonathan Swinton, Erinma Ochu y otros: Novel Fibonacci and non-Fibonacci structure in the sunflower, Royal Society Open Science 3 (2016) (en inglés)
• Ron Knott: The Fibonacci Numbers and Golden Section in Nature (en inglés)
• MOCA Los Ángeles: Mario Merz, 610 Function of 15 (en inglés)
• Wikipedia: Planning poker