La suite de Fibonacci est la suite de nombres 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes précédents. On l’appelle aussi séquence de Fibonacci, et ses termes sont les nombres de Fibonacci. Il suffit de connaître les deux premiers termes et la règle « on additionne les deux derniers » pour prolonger la suite aussi loin que tu veux.
Elle porte le nom de Leonardo Fibonacci, ou Léonard de Pise, qui la présente en 1202 avec un problème de lapins. Sur cette page, tu construis la suite, tu utilises la formule de récurrence et la formule de Binet, tu vois le lien avec le nombre d’or et la spirale, et tu vérifies ce qui est vrai dans la nature. À la fin, des exercices corrigés te permettent de t’entraîner. Pour savoir qui était Fibonacci, lis la page Fibonacci (en allemand). Tu retrouves aussi sa place dans l’histoire des mathématiques.
Définition et formule de la suite de Fibonacci
Comment construire la suite : l’explication simple
Écris deux fois le nombre 1. Le troisième terme est leur somme : 1 + 1 = 2. Le quatrième est la somme du deuxième et du troisième : 1 + 2 = 3. Ensuite viennent 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, et ainsi de suite.
Certains livres commencent à F0 = 0 (0, 1, 1, 2, 3, …). À partir de F1, les deux écritures donnent la même suite. Exemple : F15 = F14 + F13 = 377 + 233 = 610. Le défaut de cette formule : pour trouver F40, tu dois d’abord calculer tous les termes qui précèdent.
La formule explicite de Binet
Une formule explicite donne Fn directement à partir de n. Pour la suite de Fibonacci, c’est la formule de Binet, du nom de Jacques Binet qui la publie en 1843. Abraham de Moivre la connaissait déjà en 1718, comme Daniel Bernoulli.
Comme ψ est plus petit que 1 en valeur absolue, ψn devient minuscule quand n grandit. Fn est donc l’entier le plus proche de φn / √5. Pour n = 15, φ15 / √5 ≈ 609,9997, ce qui donne 610 = F15.
D’où vient la formule ? (niveau lycée et après)
- On cherche des suites de la forme qn qui vérifient qn = qn−1 + qn−2. En divisant par qn−2, il reste q2 = q + 1.
- Cette équation du second degré a pour solutions q = (1 ± √5) / 2, c’est-à-dire φ et ψ.
- Toute combinaison a · φn + b · ψn vérifie aussi la relation.
- On ajuste a et b pour que F0 = 0 et F1 = 1 : a + b = 0 et a · φ + b · ψ = 1 donnent a = 1 / √5 et b = −1 / √5.
Suite de Fibonacci : liste et tableau des 50 premiers termes
Voici la liste jusqu’à 100 : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 et 89. Le terme suivant, 144, dépasse déjà 100. Le tableau donne les 50 premiers termes, et le bouton sous le titre permet de l’imprimer ou de l’enregistrer en PDF.
| n | Fn | n | Fn |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 26 | 121 393 |
| 2 | 1 | 27 | 196 418 |
| 3 | 2 | 28 | 317 811 |
| 4 | 3 | 29 | 514 229 |
| 5 | 5 | 30 | 832 040 |
| 6 | 8 | 31 | 1 346 269 |
| 7 | 13 | 32 | 2 178 309 |
| 8 | 21 | 33 | 3 524 578 |
| 9 | 34 | 34 | 5 702 887 |
| 10 | 55 | 35 | 9 227 465 |
| 11 | 89 | 36 | 14 930 352 |
| 12 | 144 | 37 | 24 157 817 |
| 13 | 233 | 38 | 39 088 169 |
| 14 | 377 | 39 | 63 245 986 |
| 15 | 610 | 40 | 102 334 155 |
| 16 | 987 | 41 | 165 580 141 |
| 17 | 1 597 | 42 | 267 914 296 |
| 18 | 2 584 | 43 | 433 494 437 |
| 19 | 4 181 | 44 | 701 408 733 |
| 20 | 6 765 | 45 | 1 134 903 170 |
| 21 | 10 946 | 46 | 1 836 311 903 |
| 22 | 17 711 | 47 | 2 971 215 073 |
| 23 | 28 657 | 48 | 4 807 526 976 |
| 24 | 46 368 | 49 | 7 778 742 049 |
| 25 | 75 025 | 50 | 12 586 269 025 |
F100 compte 21 chiffres : 354 224 848 179 261 915 075. Tous les cinq termes, le nombre est multiplié par 11 environ, donc il gagne à peu près un chiffre tous les cinq termes.
Le problème des lapins de Fibonacci
En Europe, la suite apparaît pour la première fois dans le Liber abaci (« Livre du calcul ») de Leonardo Fibonacci, en 1202, au chapitre 12. Il pose en substance cette question : un homme met un couple de lapins dans un enclos fermé. Combien de couples naissent de ce couple en un an, si chaque couple donne chaque mois naissance à un nouveau couple, et si les nouveaux couples se reproduisent à leur tour à partir du deuxième mois qui suit leur naissance ?
On suppose que le couple de départ est adulte et qu’aucun lapin ne meurt. Un couple né ce mois-ci est trop jeune le mois suivant et n’aura son premier couple qu’un mois plus tard.
| Mois | Couples au début | Couples nés | Couples à la fin |
|---|---|---|---|
| Départ | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 1 | 3 |
| 3 | 3 | 2 | 5 |
| 4 | 5 | 3 | 8 |
| 5 | 8 | 5 | 13 |
| 6 | 13 | 8 | 21 |
| 7 | 21 | 13 | 34 |
| 8 | 34 | 21 | 55 |
| 9 | 55 | 34 | 89 |
| 10 | 89 | 55 | 144 |
| 11 | 144 | 89 | 233 |
| 12 | 233 | 144 | 377 |
Après douze mois, il y a 377 couples, le couple de départ compris. Il naît autant de couples qu’il y avait déjà de couples adultes, c’est-à-dire tous ceux qui existaient deux mois plus tôt. Le total est donc la somme des deux mois précédents. Après t mois, il y a Ft+2 couples : 377 est F14 et non F12.
Suite de Fibonacci et nombre d’or
Divise chaque terme par le précédent. Les quotients oscillent d’abord, puis se rapprochent d’un nombre fixe.
| n | Fn+1 : Fn | Quotient | Position par rapport à φ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 : 1 | 1,000000 | plus petit |
| 2 | 2 : 1 | 2,000000 | plus grand |
| 3 | 3 : 2 | 1,500000 | plus petit |
| 4 | 5 : 3 | 1,666667 | plus grand |
| 5 | 8 : 5 | 1,600000 | plus petit |
| 6 | 13 : 8 | 1,625000 | plus grand |
| 7 | 21 : 13 | 1,615385 | plus petit |
| 8 | 34 : 21 | 1,619048 | plus grand |
| 9 | 55 : 34 | 1,617647 | plus petit |
| 10 | 89 : 55 | 1,618182 | plus grand |
| 11 | 144 : 89 | 1,617978 | plus petit |
| 12 | 233 : 144 | 1,618056 | plus grand |
Ils encadrent le nombre d’or φ ≈ 1,618034. La raison tient en une ligne : si q = Fn+1 / Fn se rapproche d’une valeur fixe, la relation Fn+1 = Fn + Fn−1 donne q = 1 + 1 / q, donc q2 = q + 1. Sa solution positive est φ. Kepler a remarqué ce lien dès 1611. La suite de Fibonacci et le nombre d’or vont donc ensemble, mais la légende qui entoure le nombre d’or est beaucoup plus grande que les faits : l’article Der Goldene Schnitt : was stimmt und was Mythos ist (en allemand) vérifie les affirmations une à une.
La spirale de Fibonacci : construction et signification
Des carrés de côtés 1, 1, 2, 3, 5, 8 et 13 s’assemblent sans trou pour former un rectangle. Chaque côté est la somme des deux précédents, donc le nouveau carré se place exactement le long du grand côté du rectangle déjà construit.
Sur du papier quadrillé, dessine d’abord deux carrés de côté 1 côte à côte. Place ensuite des carrés de côtés 2, 3, 5, 8 et 13 le long du grand côté du rectangle, en tournant chaque fois d’un quart de tour. Dans chaque carré, trace un quart de cercle dont le rayon est le côté du carré, de sorte que les arcs se raccordent.
Chaque arc est environ 1,6 fois plus grand que le précédent. La figure ressemble donc à la spirale d’or, qui grandit du facteur φ à chaque quart de tour. Le rectangle compte 13 · 21 = 273 carreaux, soit la somme des aires des carrés : 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273. En général, F12 + … + Fn2 = Fn · Fn+1.
La spirale de Fibonacci n’a pas de signification cachée : c’est une construction géométrique qui illustre la croissance. Les artistes s’en sont emparés. L’artiste Mario Merz a ainsi inscrit la suite en chiffres de néon dans ses installations dès 1971.
La suite de Fibonacci dans la nature : le vrai et le faux
L’exemple le plus connu est le tournesol. Dans le capitule, on voit deux familles de spirales, les unes tournant dans le sens des aiguilles d’une montre, les autres en sens inverse. Si tu les comptes, tu trouves souvent deux nombres de Fibonacci consécutifs, par exemple 34 et 55 ou 55 et 89. Sur les pommes de pin, ce sont plus souvent 5 et 8 ou 8 et 13.
L’explication vient de la croissance. Les nouvelles graines apparaissent au centre, chacune tournée du même angle par rapport à la précédente. Avec un angle voisin de 137,5°, jamais deux graines ne se superposent et la surface se remplit uniformément. Cet angle d’or vaut 360° / φ2 ≈ 137,508°. Il est lié à la suite : si tu multiplies 360° par les fractions Fn / Fn+2, les résultats oscillent autour de lui. 2/5 donne 144°, 3/8 donne 135°, 21/55 donne 137,45°.
La nature ne suit pas toujours la règle. En 2016, Jonathan Swinton, Erinma Ochu et de nombreux volontaires ont analysé 657 tournesols. Dans le sous-ensemble le plus fiable, 565 des 768 nombres de spirales étaient des nombres de Fibonacci, soit près des trois quarts. 67 autres appartenaient à des suites voisines, par exemple les nombres de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, … (même règle, autres termes de départ). Le reste ne suivait aucun schéma. Pour aller plus loin, la gazette du CNRS « Retrouver les nombres de Fibonacci dans la nature » explique comment compter les spirales sur de vrais capitules (voir les sources).
À quoi sert la suite de Fibonacci ? Utilité et applications
La suite sert moins à décrire le monde qu’à penser : c’est l’exemple classique d’une suite définie par récurrence, et elle apparaît dans plusieurs domaines des mathématiques et de l’informatique.
- Apprendre la récurrence : on y rencontre la définition par récurrence, la démonstration par récurrence et la formule explicite. Elle est aussi l’exemple habituel pour apprendre à écrire une fonction récursive en programmation.
- Algorithme d’Euclide : en 1844, Gabriel Lamé a montré que le calcul du PGCD demande le plus d’étapes quand les deux nombres sont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci.
- Méthode de Fibonacci : pour trouver le maximum d’une fonction qui monte puis descend, la recherche de Fibonacci, proposée par Jack Kiefer en 1953, réduit l’intervalle de recherche en suivant les quotients de termes de Fibonacci.
- Informatique : les tas de Fibonacci, une structure de données mise au point dans les années 1980 par Michael Fredman et Robert Tarjan, accélèrent certains calculs de chemins dans les graphes.
- Convertir en kilomètres : comme 1 mile vaut 1,609 km et que φ ≈ 1,618, un nombre de Fibonacci en miles est presque le nombre de Fibonacci suivant en kilomètres : 5 miles font environ 8 km, 8 miles environ 13 km, 13 miles environ 21 km.
Quelques propriétés simples
Un terme sur trois est pair
Impair plus impair donne pair, impair plus pair donne impair. La suite commence par impair, impair, d’où le schéma i, i, p, i, i, p, … Ainsi F3, F6, F9, … sont pairs, par exemple F12 = 144 et F30 = 832 040.
La somme des n premiers termes
Pour n = 10 : 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, et F12 − 1 = 144 − 1 = 143. Raison : la relation de récurrence donne Fk = Fk+2 − Fk+1. Si tu écris ainsi chaque terme, presque tout s’annule et il reste Fn+2 − F2 = Fn+2 − 1.
PGCD et termes consécutifs
Pour le plus grand commun diviseur, PGCD(Fm, Fn) = FPGCD(m, n). Exemple : PGCD(12, 18) = 6, donc PGCD(F12, F18) = F6 = 8. Vérification : 144 = 8 · 18 et F18 = 2 584 = 8 · 323, et 18 et 323 n’ont aucun diviseur commun. Comme PGCD(n, n + 1) = 1 et F1 = 1, deux termes consécutifs sont toujours premiers entre eux.
Erreurs fréquentes
Exercices corrigés
Pour d’autres exercices sur les suites, tu peux utiliser le calculateur de suites (interface en allemand), qui reconnaît la règle de Fibonacci dans une liste de nombres.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la suite de Fibonacci ?
Par récurrence, Fn = Fn−1 + Fn−2 avec F1 = F2 = 1. Sous forme explicite, la formule de Binet donne Fn = (φn − ψn) / √5. Des exemples figurent dans la partie définition et formule.
Quels sont les nombres de Fibonacci jusqu’à 100 ?
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 et 89. Les 50 premiers termes sont dans le tableau.
La suite de Fibonacci commence-t-elle par 0 ou par 1 ?
Les deux existent : 0, 1, 1, 2, 3, … avec F0 = 0, ou 1, 1, 2, 3, … avec F1 = F2 = 1. À partir de F1, les deux écritures sont identiques.
Comment expliquer simplement la suite de Fibonacci ?
On part de 1 et 1, puis on additionne toujours les deux derniers nombres obtenus : 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, et ainsi de suite. La règle tient en une phrase : chaque nombre est la somme des deux qui le précèdent.
Que peut-on faire avec la suite de Fibonacci au lycée, en terminale ?
Elle sert d’exemple de suite définie par récurrence à deux termes. Les exercices habituels sont la somme des premiers termes démontrée par récurrence, la parité des termes, le PGCD et la limite des quotients Fn+1 / Fn, qui se rapprochent de φ. Des exemples corrigés figurent dans les exercices.
Qu’est-ce que la méthode de Fibonacci ?
En mathématiques, c’est la recherche de Fibonacci, proposée par Jack Kiefer en 1953 : une méthode pour trouver le maximum d’une fonction qui monte puis descend, en réduisant l’intervalle de recherche selon les quotients de termes de Fibonacci. Voir la partie sur les usages.
À quoi sert la suite de Fibonacci ?
Elle sert d’exemple de suite définie par récurrence, apparaît dans l’algorithme d’Euclide, dans la recherche de Fibonacci et dans les tas de Fibonacci, et elle modélise la croissance de certaines spirales végétales. Voir la partie sur les usages.
Retrouve-t-on vraiment la suite de Fibonacci dans la nature ?
Oui, mais pas partout. Sur les tournesols et les pommes de pin, les nombres de spirales sont souvent des nombres de Fibonacci, dans près des trois quarts des cas lors d’un comptage de 2016. Pour les coquillages, les visages ou les galaxies, les preuves manquent.
Quel est le lien entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or ?
Le quotient de deux termes consécutifs se rapproche du nombre d’or φ ≈ 1,618. Explication dans la partie suite de Fibonacci et nombre d’or.
Qui a inventé la suite de Fibonacci ?
Des poètes indiens la connaissaient avant Leonardo de Pise. En Europe, elle figure d’abord dans son Liber abaci (1202), et c’est Édouard Lucas qui lui a donné son nom au XIXe siècle.
Sources et pour aller plus loin
- Larousse : suite de Fibonacci
- CNRS Mathématiques : Retrouver les nombres de Fibonacci dans la nature (gazette, Gaëlle Chagny et Thierry de la Rue, PDF)
- Franz Woepcke : Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise, BnF Gallica
- MacTutor History of Mathematics : Leonardo Pisano Fibonacci (en anglais)
- Britannica : Fibonacci sequence (en anglais)
- Jonathan Swinton, Erinma Ochu et al. : Novel Fibonacci and non-Fibonacci structure in the sunflower, Royal Society Open Science 3 (2016) (en anglais)
- Wikipédia : Suite de Fibonacci
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