Rechner · Klasse 9 bis Beruf
Dreiecksrechner: Seiten, Winkel und Fläche berechnen
Gib drei Größen eines beliebigen Dreiecks ein, der Rechner bestimmt alle übrigen Seiten und Winkel mit Sinussatz und Kosinussatz. Er erkennt, wenn es zwei verschiedene Dreiecke gibt, und berechnet Fläche, Höhen, Seitenhalbierende sowie In- und Umkreisradius.
So benutzt du den Dreiecksrechner
Trag genau drei Größen ein, darunter mindestens eine Seite. Lass die übrigen Felder leer. Die Bezeichnung ist die übliche: Die Seite a liegt dem Winkel α gegenüber, b gegenüber β und c gegenüber γ. Winkel gibst du in Grad ein. Für rechtwinklige Dreiecke mit zwei bekannten Seiten geht es mit dem Pythagoras-Rechner noch schneller.
Welche drei Größen reichen?
Ein Dreieck ist durch drei Größen festgelegt, wenn mindestens eine Seite dabei ist. Das sind die Kongruenzsätze aus der Geometrie:
| Fall | Gegeben | Lösungsweg |
|---|---|---|
| SSS | drei Seiten | Winkel mit dem Kosinussatz |
| SWS | zwei Seiten und der Winkel dazwischen | dritte Seite mit dem Kosinussatz |
| WSW, SWW | eine Seite und zwei Winkel | dritter Winkel aus der Winkelsumme, Seiten mit dem Sinussatz |
| SSW | zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel | Sinussatz, eventuell zwei Lösungen |
Drei Winkel allein legen nur die Form fest, nicht die Größe: Alle ähnlichen Dreiecke haben dieselben Winkel.
Sinussatz und Kosinussatz
Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras: Ist γ = 90°, wird cos γ = 0 und es bleibt c² = a² + b². Beide Sätze werden im Kapitel Trigonometrie hergeleitet.
Der Sonderfall SSW
Sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben, der der kürzeren Seite gegenüberliegt, kann es zwei verschiedene Dreiecke geben. Der Grund: Der Sinus hat zwischen 0° und 180° für jeden Wert zwei Winkel, etwa sin 30° = sin 150°. Bei a = 6, b = 8 und α = 30° ist sin β = 8 · 0,5 : 6 ≈ 0,667, also β ≈ 41,81° oder β ≈ 138,19°. Beide ergeben ein gültiges Dreieck, der Rechner zeigt dir beide mit Skizze. Liegt der Winkel der längeren Seite gegenüber, ist die Lösung eindeutig.
Häufige Fragen
Warum sagt der Rechner, es gibt kein Dreieck?
Entweder sind die beiden kürzeren Seiten zusammen nicht länger als die längste (Dreiecksungleichung), oder die Winkel ergeben zusammen schon 180° oder mehr, oder im Fall SSW ist die Seite gegenüber dem Winkel zu kurz, um die dritte Ecke zu erreichen.
Wie berechne ich die Fläche nur aus den drei Seiten?
Mit der Formel von Heron: A = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)), wobei s der halbe Umfang ist. Für die Seiten 3, 4 und 5 ist s = 6 und A = √(6 · 3 · 2 · 1) = 6.
Was sind Inkreis und Umkreis?
Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen, sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Der Umkreis geht durch alle drei Ecken, sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
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