Qin Jiushao

Qin Jiushao war ein chinesischer Mathematiker, Beamter und Offizier des 13. Jahrhunderts, der ungefähr von 1202 bis 1261 lebte. Sein Hauptwerk, die Mathematische Abhandlung in neun Kapiteln (Shushu jiuzhang, 1247), enthält drei Leistungen: ein allgemeines Verfahren für den Chinesischen Restsatz, die numerische Lösung von Gleichungen bis zum zehnten Grad und eine Formel, die die Fläche eines Dreiecks aus seinen drei Seiten liefert.

Qin war ein vielseitiger und umstrittener Mann. Er beherrschte Dichtkunst, Fechten, Bogenschießen, Reiten, Musik und Baukunst, kämpfte gegen die Mongolen und geriet immer wieder wegen Bestechung und Gewalt in Verruf. Sein Buch zeigt, wie Erfahrung und mathematische Neugier zusammengehen: Es behandelt Kalender, Steuern, Festungsbau und Landvermessung.

Leben: Beamter, Soldat und Mathematiker

Qin Jiushao wurde um 1202 in Puzhou, dem heutigen Anyue in der Provinz Sichuan, geboren. Sein Vater war Beamter. Als der Vater 1224/25 in die Hauptstadt Hangzhou der Südlichen Song-Dynastie gerufen wurde, nahm er Qin mit, und der junge Mann lernte dort an der Kalenderbehörde Astronomie und Mathematik. Ab 1226 kämpfte er in Sichuan gegen die Mongolen, die die Region eroberten. Später war er Präfekt an mehreren Orten und kam durch unerlaubten Salzhandel zu Reichtum.

1244 starb seine Mutter. In der dreijährigen Trauerzeit, in der er kein Amt führen durfte, schrieb Qin sein Buch, das 1247 fertig wurde. Danach ging es in seiner Laufbahn auf und ab. Er arbeitete als Berater beim Militär, wurde Gouverneur auf der Insel Hainan und verlor das Amt nach wenigen Monaten wegen Korruptionsvorwürfen. 1260 verbannte man ihn nach Meizhou, wo er 1261 starb. Ein Zeitgenosse beschrieb ihn in einem Brief an den Kaiser als gewalttätig wie ein Tiger und giftig wie eine Viper. Was an den schweren Vorwürfen stimmt, lässt sich heute nicht mehr klären.

Das Buch in neun Kapiteln

Das Shushu jiuzhang ist den älteren Neun Kapiteln der Rechenkunst nachempfunden, aber anspruchsvoller. Es besteht aus neun Kapiteln mit je neun Aufgaben, also 81 Aufgaben. Im Westen machte es 1852 Alexander Wylie bekannt.

Der Chinesische Restsatz: Die Große Erweiterung

Schon Sunzi hatte gefragt, welche Zahl bei Division durch 3, 5 und 7 die Reste 2, 3 und 2 lässt. Seine Regel galt aber nur für genau diese Teiler. Qin entwickelte ein Verfahren für beliebige Teiler und Reste, das er „Große Erweiterung“ nannte. Sein Kern ist der Schritt „Eins suchen“:

1. Man multipliziert alle Teiler zu M.
2. Für jeden Teiler m bildet man M_m = M : m.
3. Man sucht eine Zahl k, bei der M_m · k bei Division durch m den Rest 1 lässt. Qin findet sie mit einer Kette von Divisionen mit Rest, ähnlich dem euklidischen Algorithmus.
4. Man multipliziert jeden Rest mit M_m und k, addiert alles und zieht Vielfache von M ab.

Zu den Aufgaben des ersten Kapitels gehören Kalenderrechnungen mit riesigen Zahlen: Aus den Längen von Tag, Monat und Jahr sollte man berechnen, wie viele Jahre seit dem Zeitpunkt vergangen sind, an dem alle Zyklen gleichzeitig begannen.

Die Dreiecksformel: Fläche aus drei Seiten

Im dritten Kapitel gibt Qin eine Regel für die Fläche eines Dreiecks aus den drei Seiten an. Er nennt sie „kleine“, „mittlere“ und „große Schräge“. Mit a für die kleinste, b für die mittlere und c für die größte Seite lautet sie in heutiger Schreibweise:

Für die Seiten 13, 14 und 15 ergibt sich: a² + c² − b² = 169 + 225 − 196 = 198, die Hälfte ist 99 und ihr Quadrat 9.801. Weiter ist a² · c² = 169 · 225 = 38.025. Also ist A = ½ · √(38.025 − 9.801) = ½ · √28.224 = ½ · 168 = 84. In Qins Fassung teilt man 28.224 durch 4 und zieht dann die Wurzel: √7.056 = 84.

Der Weg zur Formel ist der Satz des Pythagoras. Steht das Dreieck auf der großen Seite c, dann teilt die Höhe h diese Seite in zwei Stücke. Das linke hat die Länge d = (a² + c² − b²) / (2c) = 198 / 30 = 6,6. Dann ist h² = a² − d² = 169 − 43,56 = 125,44, also h = 11,2 und A = ½ · 15 · 11,2 = 84. Die Formel ist mathematisch dasselbe wie die Formel von Heron, kommt aber ohne den halben Umfang aus. Dass sie in China ohne bekannten Austausch mit Europa auftaucht, macht sie zu einem Beispiel für unabhängige Entdeckung.

Gleichungen höheren Grades: Ziffer für Ziffer

Viele Aufgaben des Buches führen auf Gleichungen mit hohen Potenzen, vor allem bei der Fernmessung. Eine davon lässt sich auf eine Gleichung zehnten Grades zurückführen. Qin löst sie mit einem Verfahren, das die Lösung Stelle für Stelle bestimmt: Man schätzt die erste Stelle, verschiebt die Gleichung um diesen Wert und sucht die nächste Stelle. Das entspricht dem Horner-Schema, das William George Horner 1819 veröffentlichte. Es baut auf dem Wurzelziehen mit Zählstäbchen auf, das schon die Neun Kapitel der Rechenkunst kennen.

Die neue Stelle ist jeweils die größte, bei der die linke Seite noch negativ bleibt. So ergibt sich √2 ≈ 1 + 0,4 + 0,01 + 0,004 = 1,414. Wie Quadratwurzeln im Schulstoff aussehen, zeigt der Lernbereich Zahlen.

Zeitleiste: Qin Jiushao und seine Zeit

1. um 1202 Geburt in Puzhou (heute Anyue) in Sichuan.
2. 1224/25 Aufenthalt in Hangzhou, Unterricht in Astronomie und Mathematik.
3. 1226 Kampf gegen die Mongolen in Sichuan.
4. 1244 Tod der Mutter, Beginn der Trauerzeit.
5. 1247 Das Shushu jiuzhang ist fertig.
6. 1260 Verbannung nach Meizhou.
7. 1261 Tod in Meizhou.
8. 1801 Gauß begründet die Rechnung mit Resten in den Disquisitiones Arithmeticae.
9. 1819 Horner veröffentlicht sein Schema.

Bedeutung heute

Der Restsatz in Qins Form steckt in der Computeralgebra und in der Kryptographie. Rechnet ein Computer mit Resten kleiner Zahlen statt mit einer riesigen Zahl, geht es schneller. Das Horner-Schema berechnet Polynome mit möglichst wenigen Rechenschritten und steckt in vielen Rechenprogrammen. Das Umfeld beschreiben die Artikel Chinesische Mathematik, Liu Hui und Yang Hui.

Häufige Fragen

Was ist die Qin-Jiushao-Formel?

Eine Formel für die Fläche eines Dreiecks aus den drei Seitenlängen. Sie ist mathematisch gleichwertig zur Heronschen Formel, benötigt aber keinen halben Umfang.

Quellen und weiterführende Literatur

• Ulrich Libbrecht: Chinese Mathematics in the Thirteenth Century. The Shu-shu chiu-chang of Ch’in Chiu-shao, MIT Press, Cambridge (Mass.) 1973.
• Jean-Claude Martzloff: A History of Chinese Mathematics, Springer, Berlin 1997.
• MacTutor History of Mathematics: Qin Jiushao (englisch)
• Wikipedia: Qin Jiushao