Ebenenrechner: Ebenengleichung, Spurpunkte und Abstand

So benutzt du den Rechner

Wähle, in welcher Form deine Ebene gegeben ist: durch drei Punkte, in Parameterform, in Normalenform oder als Koordinatengleichung. Punkte und Vektoren schreibst du als (1 | 0 | 2). Im Bereich „Erweitert“ kannst du einen Punkt für die Abstandsberechnung und eine Gerade angeben, deren Lage zur Ebene geprüft wird.

Von drei Punkten zur Koordinatenform

Gegeben sind A(1 | 0 | 2), B(3 | 1 | 0) und C(0 | 2 | 1). Die Richtungsvektoren sind AB = (2 | 1 | −2) und AC = (−1 | 2 | −1). Ein Vektor, der auf beiden senkrecht steht, ist ihr Kreuzprodukt, der Normalenvektor n = (3 | 4 | 5). Setzt man A ein, ergibt sich n · A = 3 + 0 + 10 = 13. Die Koordinatenform lautet:

Zur Probe kann man B und C einsetzen: 9 + 4 + 0 = 13 und 0 + 8 + 5 = 13.

Spurpunkte

Die Spurpunkte sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Man setzt jeweils zwei Koordinaten null: Aus 3x = 13 folgt S_x(13/3 | 0 | 0), ebenso S_y(0 | 13/4 | 0) und S_z(0 | 0 | 13/5). Mit den drei Spurpunkten lässt sich die Ebene als Dreieck in ein Schrägbild zeichnen.

Abstand eines Punktes

Teilt man die Koordinatengleichung durch die Länge des Normalenvektors, erhält man die Hessesche Normalform. Setzt man dann einen Punkt ein, ergibt sich sein Abstand zur Ebene. Für P(5 | 5 | 5) ist 3 · 5 + 4 · 5 + 5 · 5 − 13 = 47, und die Länge von n ist √50 = 5√2. Der Abstand beträgt 47 : 5√2 ≈ 6,65. Der Ursprung hat den Abstand 13 : 5√2 ≈ 1,84. Weitere Abstände, etwa zwischen windschiefen Geraden, erklärt die Seite Abstände im Raum.

Die drei Ebenenformen und wie man sie ineinander umrechnet, erklärt die Lernseite Ebenen im Raum, die Grundlagen der Vektoren. Mit Vektoren rechnen, Kreuz- und Skalarprodukt bilden kannst du im Vektorrechner, üben auf dem Arbeitsblatt Ebenen im Raum.

Häufige Fragen