Rechner · Klasse 11 bis Studium
Vektorrechner: Betrag, Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Winkel
Gib zwei Vektoren ein und erhalte Summe, Differenz, Längen, Skalarprodukt, Winkel und im Raum das Kreuzprodukt. Der Rechner prüft, ob die Vektoren senkrecht oder parallel sind, und berechnet mit einem dritten Vektor das Spatprodukt.
So benutzt du den Vektorrechner
Wähle, ob du in der Ebene (2D) oder im Raum (3D) rechnest, und trag die Koordinaten der Vektoren a und b ein. Brüche sind erlaubt. Der Rechner gibt Längen exakt mit Wurzeln an, etwa |a| = 2√26, und zeigt in der Ebene eine Skizze mit a, b und a + b.
Länge eines Vektors
Die Länge (der Betrag) eines Vektors folgt aus dem Satz des Pythagoras, im Raum zweimal angewendet:
Der Vektor (1; 2; 2) hat die Länge √(1 + 4 + 4) = 3. Teilt man einen Vektor durch seine Länge, erhält man den Einheitsvektor mit der Länge 1.
Skalarprodukt und Winkel
Das Skalarprodukt multipliziert die Vektoren komponentenweise und addiert: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Das Ergebnis ist eine Zahl. Mit ihm berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren:
Ist das Skalarprodukt 0, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Das ist der schnellste Test auf Orthogonalität.
Kreuzprodukt und Spatprodukt
Das Kreuzprodukt a × b gibt es nur im Raum. Es ist ein Vektor, der senkrecht auf a und b steht. Seine Länge ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das a und b aufspannen, die Hälfte davon die Fläche des Dreiecks. Für das Beispiel oben ist a × b = (8; 2; −6) mit der Länge √104 = 2√26 ≈ 10,2. Das Spatprodukt (a × b) · c ist das Volumen des schiefen Quaders aus drei Vektoren. Ist es 0, liegen die drei Vektoren in einer Ebene. Mehr dazu steht im Kapitel Vektoren.
Häufige Fragen
Was bedeutet kollinear?
Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Sie zeigen dann in dieselbe oder genau die entgegengesetzte Richtung, ihr Kreuzprodukt ist der Nullvektor.
Ist a × b dasselbe wie b × a?
Nein, die Richtung kehrt sich um: b × a = −(a × b). Die Richtung von a × b bestimmt die Rechte-Hand-Regel: Daumen in Richtung a, Zeigefinger in Richtung b, dann zeigt der Mittelfinger in Richtung a × b.
Wofür braucht man Vektoren?
Überall, wo Richtungen eine Rolle spielen: Kräfte und Geschwindigkeiten in der Physik, Bewegungen in Computerspielen, Lichtberechnung in der 3D-Grafik und die Beschreibung von Geraden und Ebenen in der analytischen Geometrie.