Matrices: tipos, producto, determinante e inversa

Una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas. Una matriz con m filas y n columnas es de dimensión m × n. Por ejemplo, A = $(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})$ es una matriz 2 × 2 (cuadrada). Las matrices sirven para resolver sistemas de ecuaciones, describir transformaciones geométricas y organizar datos.

La página explica los tipos de matrices, la suma y el producto por un número, el producto de matrices (que no es conmutativo), el determinante de orden 2 y 3 con la regla de Sarrus, la matriz inversa y cómo se resuelve un sistema con matrices, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Para comprobar cálculos hay, en alemán, la calculadora de matrices. En alemán: Matrizen.

Qué es una matriz y sus tipos

Cada número de la matriz es un elemento, que se nombra con dos subíndices: a_ij es el de la fila i y la columna j. Los tipos más usados:

Tipos de matrices
Tipo	Cómo es	Ejemplo
Matriz fila	una sola fila	$(\begin{matrix} 1 & 5 & - 2 \end{matrix})$
Matriz columna	una sola columna	$(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})$
Cuadrada	mismo número de filas y de columnas	$(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix})$
Nula	todos los elementos son 0	$(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$
Diagonal	solo la diagonal principal es distinta de 0	$(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix})$
Identidad (I)	diagonal de unos y el resto ceros	$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$
Traspuesta (Aᵗ)	filas y columnas intercambiadas	la traspuesta de $(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix})$ es $(\begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix})$

Suma y producto por un número

Para sumar o restar matrices, deben tener la misma dimensión; se operan los elementos que ocupan la misma posición. Para multiplicar por un número, se multiplican todos los elementos.

Producto de matrices

El producto A · B existe si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Si A es m × n y B es n × p, el producto es m × p. El elemento de la fila i y la columna j del resultado se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B, elemento a elemento, y sumando.

Determinante

El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Para una matriz 2 × 2, se multiplican las diagonales y se restan:

| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |

= a · d − b · c

Determinante 3 × 3: regla de Sarrus

Para una matriz 3 × 3, la regla de Sarrus suma los tres productos de las diagonales que bajan hacia la derecha (la principal y dos paralelas) y resta los tres productos de las diagonales que suben hacia la derecha (la secundaria y dos paralelas). Con elementos a_ij:

|A| = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃

Matriz inversa

La matriz inversa A⁻¹ de una matriz cuadrada A cumple A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I. Existe solo si |A| ≠ 0. Para una matriz 2 × 2, A = $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ , la inversa es

A⁻¹ = (1 / |A|) ·

(\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})

Se intercambian a y d, se cambian de signo b y c, y se divide entre el determinante.

Sistemas de ecuaciones con matrices

Un sistema lineal se puede escribir como A · X = B, con A la matriz de los coeficientes, X la columna de incógnitas y B la columna de los términos independientes. Si A tiene inversa, la solución es X = A⁻¹ · B.

Si |A| = 0, el sistema es incompatible o indeterminado y no se puede resolver con la inversa.

Errores frecuentes

Multiplicar elemento a elemento en lugar de fila por columna.
Pensar que A · B = B · A.
Sumar matrices de distinta dimensión: no se puede.
Calcular la inversa de una matriz con determinante 0: no existe.
Equivocarse en los signos de Sarrus: las diagonales que suben se restan.
Olvidar dividir entre el determinante al calcular la inversa.

Ejercicios con soluciones

Ejercicio: matrices

Suma A = $(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix})$ y B = $(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 4 & 2 \end{matrix})$ .
Calcula 3A con A = $(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix})$ .
Calcula A · B con las mismas matrices.
Calcula el determinante de $(\begin{matrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})$ .
Calcula por Sarrus el determinante de $(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix})$ .
Halla la inversa de $(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix})$ .
¿Tiene inversa $(\begin{matrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix})$ ?
Resuelve con matrices 3x + 2y = 7 y x + y = 3.
Escribe la traspuesta de $(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix})$ .
¿Qué dimensión tiene el producto de una matriz 3 × 2 por una 2 × 4? ¿Se puede multiplicar una 2 × 3 por otra 2 × 3?

Ver soluciones

A + B = $(\begin{matrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{matrix})$ .
3A = $(\begin{matrix} 6 & 3 \\ 0 & 9 \end{matrix})$ .
A · B = $(\begin{matrix} 6 & 0 \\ 12 & 6 \end{matrix})$ (por ejemplo, fila 1 por columna 1: 2 · 1 + 1 · 4 = 6; fila 1 por columna 2: 2 · (−1) + 1 · 2 = 0).
5 · 4 − 2 · 3 = 14.
(1 · 3 · 0 + 0 · 1 · 2 + 2 · 0 · 1) − (2 · 3 · 2 + 1 · 1 · 1 + 0 · 0 · 0) = 0 − 13 = −13.
El determinante es 2 · 3 − 1 · 5 = 1, así que la inversa es $(\begin{matrix} 3 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{matrix})$ .
No: el determinante es 2 · 2 − 4 · 1 = 0.
A = $(\begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ con |A| = 1 y A⁻¹ = $(\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix})$ . X = A⁻¹ · $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 7 − 6 \\ −7 + 9 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ . Es decir, x = 1 e y = 2.
$(\begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix})$ .
Una matriz 3 × 4. Una 2 × 3 por una 2 × 3 no se puede multiplicar, porque las columnas de la primera (3) no coinciden con las filas de la segunda (2).

Preguntas frecuentes

¿Qué es una matriz?

Una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas. Su dimensión es filas × columnas.

¿Cómo se multiplican dos matrices?

Multiplicando cada fila de la primera por cada columna de la segunda, elemento a elemento, y sumando. Hay que cumplir que las columnas de la primera sean tantas como las filas de la segunda. Mira los ejemplos.

¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 2×2 y 3×3?

El de 2 × 2 es ad − bc; el de 3 × 3 se calcula con la regla de Sarrus.

¿Cómo se calcula la matriz inversa?

Para 2 × 2: se intercambian los elementos de la diagonal, se cambia el signo de los otros dos y se divide entre el determinante. Solo existe si el determinante no es 0.

¿Qué es la matriz identidad?

La matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Al multiplicar por ella, cualquier matriz queda igual.

¿Cómo se resuelve un sistema con matrices?

Se escribe como A · X = B y, si A tiene inversa, X = A⁻¹ · B. Mira el ejemplo.

Sigue aprendiendo

Tema anterior: vectores.
Siguiente tema: derivadas parciales, ya en el nivel universitario.
Repaso: sistemas de ecuaciones.
En alemán: Matrizen y la calculadora de matrices.