Wie viel Wein ist im Fass? Kepler rechnet nach

Kepler und die Weinfässer

Johannes Kepler wurde vor allem als Astronom berühmt. Im Herbst 1613 feierte er in Linz seine zweite Hochzeit und kaufte dafür Wein. Als die Fässer im Keller lagen, bestimmte der Händler ihren Inhalt mit einer Messrute. Er steckte sie schräg durch das Spundloch, das Einfüllloch in der Mitte des Fasses, bis zum Rand eines Bodens. An der Länge der Rute las er den Inhalt ab. Er machte das bei allen Fässern gleich, ob sie bauchig waren oder schlank.

Kepler wunderte sich: Wie kann eine einzige Länge den Rauminhalt festlegen? Aus der Frage wurde ein Buch, die Nova stereometria doliorum vinariorum („Neue Stereometrie der Weinfässer“), 1615 in Linz gedruckt. Kepler berechnete darin Rauminhalte von Körpern, die durch Drehen einer Fläche entstehen. Er dachte sich die Körper aus unendlich vielen dünnen Scheiben zusammengesetzt. Das ist der Gedanke, aus dem später das Integral wurde. Aus seinem Verfahren ging eine Rechenregel hervor, die Keplersche Fassregel. Sie schätzt den Inhalt aus drei Querschnitten: unten, in der Mitte und oben.

Wir rechnen mit einem Modellfass. Es ist 1 m lang, in der Mitte reicht es 0,4 m und an den Böden 0,3 m von der Achse nach außen. Sein Profil ist die Parabel mit der Gleichung $y=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,4}{x}^2$ für $-\mathrm{0,5}\le x\le \mathrm{0,5}$. Die Maße sind ein Modell, nicht die Maße eines echten Fasses.

Aufgaben

1. Die Visierrute führt im Modellfass vom Spundloch (oben in der Mitte) bis zum unteren Rand des rechten Bodens. Berechne ihre Länge mit dem Satz des Pythagoras. Nutze die Maße aus dem Text: Länge 1 m, Radius in der Mitte 0,4 m, Radius am Boden 0,3 m.
2. Das Fass entsteht, wenn der Graph von $y=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,4}{x}^2$ im Intervall von −0,5 bis 0,5 um die x-Achse rotiert (Längen in Meter). Berechne das Volumen mit $V=\pi \int y^{2}dx$ und gib es in Litern an. Es gilt 1 m³ = 1.000 Liter.
3. Keplers Fassregel lautet $V\approx \frac{L}{6}(A_u+4A_m+A_o)$. Dabei ist L die Länge des Fasses, $A_u$ und $A_o$ sind die Kreisflächen der beiden Böden, $A_m$ ist die Kreisfläche in der Mitte. Berechne damit das Volumen des Modellfasses. Wie weit liegt die Schätzung vom Wert aus Aufgabe 2 entfernt, in Litern und in Prozent?
4. Ein Zylinder der Länge 1 m soll dieselbe Visierrute haben wie das Modellfass: Die Rute führt vom Spundloch in der Mitte oben bis zum unteren Rand eines Bodens. Berechne seinen Radius und sein Volumen in Litern. Was sagt der Vergleich mit Aufgabe 2 über das Messen mit der Visierrute?
5. Knifflig: Zeige, dass die Fassregel für eine Kugel mit dem Radius R genau das Kugelvolumen liefert. Betrachte die Kugel als Körper der Länge $L=2R$. Die Querschnitte an den Enden sind Punkte, ihre Fläche ist 0.
6. Kepler dachte sich Körper aus dünnen Scheiben zusammengesetzt. Erkläre mit eigenen Worten, wie diese Idee zur Formel $V=\pi \int y^{2}dx$ passt. Recherchiere außerdem, wie die Fassregel heute in der Mathematik heißt.