Probleme lösen in Mathe: Pólya und Strategien zum Knobeln

Die Aufgabe 24 + 17 löst du mit einem Verfahren, das du kennst. Bei einem Problem kennst du so ein Verfahren (noch) nicht. Die Bildungsstandards sprechen von Aufgaben, die sich mit vorhandenen Kenntnissen nicht routiniert lösen lassen. Probleme lösen ist die Kunst, trotzdem einen Weg zu finden. Dafür gibt es Hilfsmittel, die man Heurismen nennt: Strategien, die oft zum Ziel führen, aber nicht immer. Das Wort kommt vom altgriechischen heuriskein, „finden“.

Hier lernst du den Ablauf in vier Phasen nach George Pólya und viele Strategien mit kleinen Knobelaufgaben. Wer lieber gleich knobelt, findet unten Übungen und das Arbeitsblatt Knobelaufgaben. Rechengeschichten in der Grundschule behandelt Sachaufgaben lösen.

Aufgabe oder Problem?

Die Aufgabe 35 · 12 ist für dich eine Routineaufgabe, wenn du das schriftliche Multiplizieren beherrschst. Die Frage „Wie viele Quadrate aller Größen siehst du auf einem Schachbrett?“ ist dagegen zuerst ein Problem: Du weißt nicht, womit du anfangen sollst. Dieselbe Frage kann für den einen Aufgabe, für die andere Problem sein. Die Standards nennen als Strategien in der Grundschule vor allem das systematische Probieren, das Nutzen von Analogien, das Rückwärtsarbeiten, Skizzen und Tabellen. Für die Sekundarstufe I kommen zum Beispiel das Zerlegen und Ergänzen dazu, für die Oberstufe etwa Symmetrien, das Extremalprinzip und das Finden von Invarianten.

Die vier Phasen nach Pólya

Der ungarisch-amerikanische Mathematiker George Pólya (1887–1985) beschrieb 1945 in seinem Buch How to Solve It (deutsch Schule des Denkens, 1949) den Weg zur Lösung in vier Phasen. Sie bilden bis heute das Grundgerüst vieler Schulbücher.

Die vier Phasen des Problemlösens. Wenn etwas nicht passt, springst du zurück.

Aufgabe verstehen: Was ist gesucht? Was ist gegeben? Welche Bedingungen gibt es? Kannst du die Aufgabe mit eigenen Worten erzählen oder zeichnen?
Plan ausdenken: Kennst du eine ähnliche Aufgabe? Kannst du zuerst einen einfacheren Fall lösen? Welche Strategie passt?
Plan ausführen: Rechne oder zeichne Schritt für Schritt und prüfe jeden Schritt.
Rückschau halten: Stimmt das Ergebnis? Beantwortet es die Frage? Geht es auch auf einem anderen Weg? Kannst du die Idee für andere Aufgaben nutzen?

In der Praxis sind die Phasen nicht streng getrennt. Oft entdeckst du beim Ausführen, dass du die Aufgabe falsch verstanden hast, und beginnst von vorn. Das ist normal und kein Zeichen von Schwäche.

Strategien zum Problemlösen

Die folgende Tabelle gibt dir einen Überblick. Zu jeder Strategie gibt es unten ein kleines Beispiel.

Strategien zum Problemlösen mit Leitfrage
Strategie	Leitfrage
Skizze	Wie sieht die Situation aus, wenn ich sie zeichne?
Tabelle	Welche Fälle gibt es, und wie hängen die Zahlen zusammen?
Systematisch probieren	Habe ich alle Möglichkeiten geordnet durchgesehen?
Rückwärts arbeiten	Wie komme ich vom Ergebnis zurück zum Anfang?
Spezialfälle und Muster	Was passiert bei kleinen Zahlen? Welches Muster zeigt sich?
Andere Sichtweise	Kann ich die Frage umdrehen oder anders zählen?
Invarianten	Was ändert sich bei jedem Schritt nie?

Skizze und Zeichnung

Tabelle

Systematisch probieren

Rückwärts arbeiten

Dieses Vorgehen ist uralt. Der griechische Mathematiker Pappos beschrieb es als Analyse: Man nimmt an, das Gesuchte sei schon gefunden, und arbeitet von dort rückwärts zu etwas Bekanntem.

Spezialfälle und Muster

Achte darauf, dass ein Muster aus wenigen Fällen nur eine Vermutung ist. Hier hast du es durch das Abzählen begründet. Wie gefährlich Muster sein können, zeigt Ein Beispiel ist kein Beweis.

Andere Sichtweise

Invarianten: Was ändert sich nie?

Manchmal hilft die Frage, was bei jedem Schritt gleich bleibt. Eine solche Größe heißt Invariante. Damit kannst du zeigen, dass etwas nicht geht, ohne alle Möglichkeiten durchzuprobieren.

Ein Schachbrett ohne zwei gegenüberliegende Eckfelder. Beide Ecken haben dieselbe Farbe, also bleiben 30 helle und 32 dunkle Felder übrig.

Eine weitere Denkfigur zum Beweisen von Unmöglichem oder Notwendigem ist das Schubfachprinzip.

Wenn du nicht weiterkommst

Erzähle die Aufgabe mit eigenen Worten, am besten einer anderen Person.
Ersetze große Zahlen durch kleine und löse zuerst diesen einfachen Fall.
Zeichne etwas, auch wenn du nicht weißt, ob es hilft.
Schreibe auf, was du schon weißt, und suche, was fehlt.
Mach eine Pause. Viele Ideen kommen nach einem Spaziergang.
Versuche eine andere Strategie aus der Tabelle.

Übungen

Geschichte: Probleme lösen und lehren

Aufgabensammlungen sind uralt. Der Papyrus Rhind in der ägyptischen Mathematik enthält Aufgaben wie „Ein Haufen und sein Siebtel ergeben zusammen 19“, die man mit einem geratenen Startwert löste und dann korrigierte. Diophant wird eine Grabinschrift als Rätsel zugeschrieben, und Fibonacci stellte 1202 in seinem Liber abaci die berühmte Kaninchenaufgabe. Pólya wollte das Lösen von Problemen im 20. Jahrhundert lehrbar machen, und seine vier Phasen und Fragen gehören bis heute zum Unterricht. Weitere klassische Rätsel mit Geschichte bietet die Seite Fünf klassische Knobelrätsel.

Häufige Fragen

Gibt es ein Rezept, das jedes Problem löst?

Nein. Heurismen sind Wegweiser, keine Garantien. Probleme lösen lernt man vor allem durch Üben, ähnlich wie Schwimmen.

Wozu dient die Rückschau?

Du prüfst das Ergebnis, findest Fehler und lernst, was an dem Weg gut war. Oft entdeckst du dabei einen kürzeren Weg oder eine allgemeinere Aussage.

Muss ich alle Strategien auswendig kennen?

Nein. Es hilft, zwei oder drei zu beherrschen, die du dir merkst: zeichnen, ordnen und systematisch probieren, von hinten rechnen. Mit der Zeit kommen weitere dazu.

Quellen und weiterführende Literatur

George Pólya: How to Solve It. A New Aspect of Mathematical Method, Princeton University Press, Princeton 1945.
George Pólya: Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Probleme, Francke, Bern 1949.
Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik, Primarbereich (i. d. F. vom 23.06.2022), Abschnitt „Probleme mathematisch lösen“
Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Kompetenz „Probleme mathematisch lösen“ (K2)
Regina Bruder, Christina Collet: Problemlösen lernen im Mathematikunterricht, Cornelsen Scriptor, Berlin 2011.