Knobelaufgaben mit Strategien: Arbeitsblatt mit Lösungen

Lösungen

1. Rückwärts: 13 · 2 = 26, dann 26 − 8 = 18, dann 18 : 3 = 6. Probe: 6 · 3 = 18, 18 + 8 = 26, 26 : 2 = 13. Gedacht war die Zahl 6.
2. Skizze: Bei 5 m Zaun stehen 2 Pfähle, bei 10 m stehen 3 Pfähle. Es gibt immer einen Pfahl mehr als Abschnitte. 60 : 5 = 12 Abschnitte, also 12 + 1 = 13 Pfähle.
3. Tabelle: 24 Hühner und 0 Kaninchen ergeben 48 Beine, 20 Hühner und 4 Kaninchen 40 + 16 = 56 Beine, 16 Hühner und 8 Kaninchen 32 + 32 = 64 Beine, 13 Hühner und 11 Kaninchen 26 + 44 = 70 Beine. Es sind 13 Hühner und 11 Kaninchen. Auch so: Wären alle 24 Tiere Hühner, gäbe es 48 Beine. Es fehlen 22 Beine, und jedes Kaninchen bringt 2 Beine mehr, also sind es 11 Kaninchen.
4. Geordnet nach der Hunderterziffer: 104, 113, 122, 131, 140 (5 Zahlen), 203, 212, 221, 230 (4 Zahlen), 302, 311, 320 (3 Zahlen), 401, 410 (2 Zahlen), 500 (1 Zahl). Zusammen 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 Zahlen.
5. Tabelle der Höhe am Ende des Tages: Tag 1: 4 m, nachts 1 m. Tag 2: 5 m, dann 2 m. Tag 3: 6 m, dann 3 m. Tag 4: 7 m, dann 4 m. Tag 5: 8 m, dann 5 m. Tag 6: 9 m, dann 6 m. Tag 7: 10 m, dann 7 m. Tag 8: 11 m, dann 8 m. Tag 9: 8 m + 4 m = 12 m, die Schnecke ist oben. Die schnelle Rechnung 12 Tage ist falsch, weil sie am letzten Tag nicht mehr zurückrutscht. Antwort: am 9. Tag.
6. Runde für Runde: 13 Mannschaften, 6 Spiele, 1 Freilos, danach 7 Mannschaften. Dann 3 Spiele, 1 Freilos, danach 4 Mannschaften. Dann 2 Spiele, danach 2 Mannschaften. Dann 1 Spiel. Zusammen 6 + 3 + 2 + 1 = 12 Spiele.
7. Bretter: 1 · 1 hat 1 Quadrat, 2 · 2 hat 4 + 1 = 5, 3 · 3 hat 9 + 4 + 1 = 14, 4 · 4 hat 16 + 9 + 4 + 1 = 30. Muster: Auf einem n · n-Brett gibt es n² Quadrate mit der Seitenlänge 1, (n − 1)² mit der Seitenlänge 2, und so weiter, denn ein Quadrat der Seitenlänge k kann links oben an (n − k + 1)² Stellen beginnen. Für das Schachbrett: 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204 Quadrate.
8. Dreieck 0, Viereck 2, Fünfeck 5, Sechseck 9, Siebeneck 14. Jede Ecke hat Diagonalen zu allen Ecken außer sich selbst und ihren beiden Nachbarn, das sind n − 3. Das ergibt n · (n − 3), doch jede Diagonale wird von beiden Enden gezählt, also ist die Anzahl n · (n − 3) : 2. Zwölfeck: 12 · 9 : 2 = 54 Diagonalen. Probe: Sechseck 6 · 3 : 2 = 9.
9. Nein. Färbe das Brett wie ein Schachbrett. Jeder Dominostein deckt immer ein helles und ein dunkles Feld. 31 Steine decken also 31 helle und 31 dunkle Felder. Die beiden gegenüberliegenden Eckfelder haben dieselbe Farbe, zum Beispiel beide hell. Dann bleiben 30 helle und 32 dunkle Felder, das passt nicht zu 31 Steinen. Die Invariante ist die gleiche Zahl heller und dunkler Felder bei jedem gelegten Stein.
10. Nein. Zähle die umgekehrten Gläser. Anfangs sind es 3. Bei jedem Zug mit zwei Gläsern ändert sich diese Zahl um −2, 0 oder +2 (beide umgekehrt, eines je Art, beide richtig herum). Die Zahl bleibt also immer ungerade. Das Ziel ist 0, eine gerade Zahl, und deshalb nicht erreichbar. Bei drei Gläsern pro Zug geht es: Man dreht in einem Zug genau die drei umgekehrten Gläser um. Die Parität bleibt dann nicht erhalten, denn die Zahl ändert sich um ±1 oder ±3.
11. Teile die neun Münzen in drei Gruppen zu je drei. Lege zwei Gruppen auf die Waage. Ist eine leichter, steckt die Fälschung in ihr, sonst in der dritten Gruppe. Lege dann aus der gefundenen Gruppe zwei Münzen auf die Waage: Ist eine leichter, ist sie die Fälschung, sonst ist es die dritte Münze. Das sind zwei Wägungen. Mit einer Wägung geht es nicht, denn sie hat nur drei mögliche Ausgänge, es gibt aber neun Möglichkeiten. Bei 27 Münzen genügen 3 Wägungen (3 Gruppen zu 9), bei 81 sind es 4. Allgemein reichen bei 3^k Münzen genau k Wägungen.
12. Weg 1: 13 Mannschaften ergeben 6 + 3 + 2 + 1 = 12 Spiele (siehe Aufgabe 6). Weg 2: Bei jedem Spiel scheidet genau eine Mannschaft aus, und am Ende bleibt eine übrig. Es müssen 12 Mannschaften ausscheiden, also gibt es 12 Spiele. Weg 2 braucht fast keine Rechnung und gilt für jede Anzahl n von Mannschaften: Es sind immer n − 1 Spiele. Bei 100 Mannschaften sind es 99 Spiele. (Weg 1 liefert hier 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 2 + 1 = 99.)
13. Tabelle: 1 · 19 = 19, 2 · 18 = 36, 5 · 15 = 75, 8 · 12 = 96, 9 · 11 = 99, 10 · 10 = 100, dann wieder weniger (11 · 9 = 99). Vermutung: Das größte Produkt ist 100. Begründung: Schreibe die Zahlen als 10 + d und 10 − d. Ihre Summe ist 20 und ihr Produkt (10 + d) · (10 − d) = 100 − d². Da d² nie negativ ist, ist das Produkt höchstens 100, und 100 entsteht genau bei d = 0, also bei 10 und 10.