Mathematik des 18. Jahrhunderts

Die Mathematik des 18. Jahrhunderts war vor allem eine Mathematik der Analysis. Die Infinitesimalrechnung, die Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz am Ende des 17. Jahrhunderts geschaffen hatten, wurde zu einem umfassenden Werkzeug ausgebaut: für Differentialgleichungen, unendliche Reihen und Variationsrechnung, für die Mechanik fester Körper und Flüssigkeiten, für schwingende Saiten und die Bewegung der Planeten. Prägende Gestalt war der Basler Leonhard Euler, dessen Werk nahezu jedes Gebiet der Mathematik berührt.

Das Jahrhundert der Aufklärung brachte zugleich neue Arbeitsbedingungen. Mathematiker forschten als besoldete Mitglieder fürstlicher Akademien in Berlin, Sankt Petersburg und Paris, lösten Preisaufgaben, korrespondierten über Ländergrenzen hinweg und schrieben Lehrbücher, die das Fach für Generationen ordneten. Am Ende des Jahrhunderts schuf die Französische Revolution mit dem metrischen System und der École polytechnique Einrichtungen, die bis heute fortwirken.

Aufklärung, Akademien und gelehrte Briefe

Im Zeitalter der Aufklärung galt die Mathematik als Vorbild klaren Denkens und als Schlüssel zur Natur. Herrscher schmückten sich mit Akademien, an denen Gelehrte gegen Gehalt forschten und Ergebnisse in eigenen Jahrbüchern veröffentlichten. In Berlin war 1700 auf Anregung von Leibniz die Sozietät der Wissenschaften entstanden, die Friedrich II. in den 1740er-Jahren als Académie royale neu ordnete. In Sankt Petersburg verfügte Zar Peter der Große 1724 die Gründung einer Akademie, die 1725 eröffnet wurde und mangels eigener Fachleute Gelehrte aus Basel und Deutschland anwarb. Die Pariser Académie des sciences stellte jedes Jahr Preisaufgaben, etwa zur Bahn des Mondes oder zur Takelage von Schiffen; Euler gewann sie zwölfmal.

Die Universitäten spielten dagegen eine Nebenrolle. Neue Ergebnisse liefen über Akademieschriften und über Briefe: Der Briefwechsel zwischen Euler und Christian Goldbach umfasst rund 200 Briefe aus 35 Jahren. Die große Encyclopédie von Denis Diderot und Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1751–1772), für deren mathematische Artikel d’Alembert verantwortlich war, trug das Wissen in ein breiteres Publikum. Wie eng Theorie und Weltbild zusammenhingen, zeigen die Expeditionen nach Lappland (1736/37) und Peru (1735–1744): Sie sollten durch Gradmessungen klären, ob die Erde an den Polen abgeplattet ist, wie Newton vorhergesagt hatte. Die Messungen gaben Newton recht.

Die Bernoullis: Basel als Zentrum der Analysis

Die Brüder Jakob Bernoulli und Johann Bernoulli aus einer Basler Kaufmannsfamilie gehörten zu den Ersten, die Leibniz’ knappe Aufsätze von 1684 und 1686 verstanden und weiterentwickelten. Jakob, ab 1687 Professor in Basel, verwendete 1690 als Erster das Wort „Integral“ im Druck, stellte im selben Jahr die Frage nach der Form einer durchhängenden Kette (Kettenlinie), untersuchte die Lemniskate und stieß bei Zinseszinsrechnungen auf die Zahl, die später e heißen sollte. Sein Hauptwerk Ars conjectandi erschien 1713, acht Jahre nach seinem Tod. Es enthält das Gesetz der großen Zahlen, nach dem sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei vielen Versuchen seiner Wahrscheinlichkeit nähert, sowie die Bernoulli-Zahlen.

Johann, zunächst Professor in Groningen und ab 1705 Nachfolger seines Bruders in Basel, unterrichtete 1691/92 in Paris den Marquis de l’Hospital, der ihn anschließend vertraglich bezahlte und 1696 das erste Lehrbuch der Differentialrechnung herausgab, einschließlich der heute „Regel von de l’Hospital“ genannten Grenzwertregel, die von Bernoulli stammt. Im selben Jahr stellte Johann den „scharfsinnigsten Mathematikern“ das Brachistochronenproblem: Auf welcher Kurve gleitet ein Körper am schnellsten zwischen zwei Punkten hinab? Lösungen kamen 1697 von Johann selbst, Jakob, Leibniz, l’Hospital, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus und anonym von Newton. Die Antwort ist eine Zykloide. Aus solchen Aufgaben entstand die Variationsrechnung, die nach Kurven oder Funktionen sucht, die eine Größe minimieren.

Das Verhältnis der Brüder war alles andere als freundschaftlich: Über das isoperimetrische Problem, also die Frage nach Kurven gleichen Umfangs mit größter Fläche, zerstritten sie sich öffentlich und bitter. Johanns Sohn Daniel Bernoulli (1700–1782) begründete mit der Hydrodynamica (1738) die Strömungslehre (das Bernoulli-Prinzip trägt seinen Namen) und arbeitete wie sein Vater auch über Wahrscheinlichkeit. Sein wichtigster Schüler aber war ein anderer: Johann Bernoulli unterrichtete den jungen Leonhard Euler.

Leonhard Euler: Mathematiker eines ganzen Jahrhunderts

Leonhard Euler wurde 1707 in Basel geboren und studierte bei Johann Bernoulli. 1727 ging er an die neue Akademie in Sankt Petersburg, 1741 folgte er einem Ruf Friedrichs II. nach Berlin, und 1766 kehrte er nach Sankt Petersburg zurück, wo er 1783 starb. Schon um 1738 verlor er die Sehkraft auf dem rechten Auge, ab 1771 war er nahezu blind. Seine Produktivität ließ dennoch nicht nach: Mit einem außergewöhnlichen Gedächtnis rechnete er im Kopf und diktierte Söhnen und Assistenten. Das Verzeichnis seiner Schriften umfasst rund 870 Titel; die Gesamtausgabe Opera omnia, begonnen 1911, zählt über 80 Bände.

Euler war auch ein großer Lehrbuchautor. Die Mechanica (1736) formulierte Newtons Mechanik erstmals mit Differentialgleichungen, die Introductio in analysin infinitorum (1748) machte die Funktion zum Grundbegriff der Analysis, und es folgten Lehrbücher zur Differential- (1755) und Integralrechnung (1768–1770), die Vollständige Anleitung zur Algebra (1770) und die populären Briefe an eine deutsche Prinzessin über Physik und Philosophie. Viele heutige Schreibweisen hat Euler eingeführt oder durchgesetzt: f(x) für Funktionen, e für die Basis des natürlichen Logarithmus, i für √−1, Σ für Summen und π für die Kreiszahl, die William Jones 1706 erstmals so bezeichnet hatte.

Das Basler Problem und die Eulersche Formel

Berühmt machte Euler 1734/35 die Lösung des Basler Problems, an dem sich auch die Bernoullis versucht hatten: der Wert der unendlichen Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen. Euler zeigte mit einem kühnen Vergleich zwischen Polynomen und der Sinusfunktion, dass die Summe π²/6 beträgt; strenger begründete er das Ergebnis einige Jahre später.

In der Introductio verband Euler Exponentialfunktion und Trigonometrie durch die Formel e^ix = cos x + i sin x. Setzt man x = π, folgt die oft als schönste Formel der Mathematik bezeichnete Beziehung $e^{i\pi }+1=0$, die fünf Grundkonstanten verknüpft. In genau dieser Form steht sie bei Euler allerdings nicht; sie ist eine unmittelbare Folgerung aus seinen Ergebnissen.

Das Königsberger Brückenproblem und die Polyederformel

1736 untersuchte Euler, ob man in Königsberg einen Spaziergang machen kann, der jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert. Er zeigte, dass es nicht geht, und fand das allgemeine Kriterium: Ein solcher Weg ist nur möglich, wenn höchstens zwei Landstücke von einer ungeraden Zahl von Brücken berührt werden. In Königsberg sind es alle vier. Damit gilt Euler als Begründer der Graphentheorie, die heute Verkehrsnetze, Schaltungen und soziale Netzwerke beschreibt.

Eine verwandte Entdeckung ist die Eulersche Polyederformel (1750 in einem Brief an Goldbach, Beweis 1758): Für jeden konvexen Polyeder gilt E − K + F = 2, wobei E die Ecken, K die Kanten und F die Flächen zählt. Ein Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen: 8 − 12 + 6 = 2. Die Formel wurde zum Ausgangspunkt der Topologie. Euler arbeitete außerdem über Mechanik starrer Körper, Strömungen (Euler-Gleichungen, 1757), Optik, Schiffbau, Musiktheorie und die Bewegung des Mondes.

Analysis als Leitdisziplin

Das 18. Jahrhundert verwandelte den Kalkül von Newton und Leibniz in die Analysis, eine Theorie der Funktionen. Brook Taylor veröffentlichte 1715 die nach ihm benannte Reihe, mit der sich viele Funktionen als unendliche Summen von Potenzen schreiben lassen; Colin Maclaurin verwendete den Spezialfall um den Nullpunkt in seinem Treatise of Fluxions (1742). Maclaurins Buch war zugleich eine Antwort auf den Philosophen George Berkeley, der 1734 in The Analyst gezeigt hatte, dass die unendlich kleinen Größen logisch widersprüchlich behandelt wurden. Die meisten Mathematiker rechneten dennoch unbekümmert weiter, mit großem Erfolg, aber gelegentlich auch mit falschen Ergebnissen bei unendlichen Reihen.

Zentral wurden Differentialgleichungen, also Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. D’Alembert stellte 1747 die Wellengleichung für eine schwingende Saite auf. Daniel Bernoulli schlug vor, jede Schwingung als Überlagerung von Sinusschwingungen darzustellen; Euler und d’Alembert widersprachen. Der jahrzehntelange „Saitenstreit“ drehte sich im Kern um die Frage, was eine Funktion überhaupt ist: ein einziger Rechenausdruck oder jede beliebig gezeichnete Kurve. Euler sprach sich für den weiteren Begriff aus; geklärt wurde die Frage erst im 19. Jahrhundert durch Joseph Fourier und Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Variationsrechnung: Euler und Lagrange

1755 schrieb der neunzehnjährige Joseph-Louis Lagrange aus Turin an Euler und schlug eine neue, rein analytische Methode für Extremalprobleme vor, bei denen eine ganze Funktion gesucht ist. Euler, der zuvor geometrisch gearbeitet hatte, übernahm den Ansatz, lobte den jungen Kollegen öffentlich und gab dem Gebiet seinen Namen: calculus variationum, Variationsrechnung. Die Grundgleichung heißt heute Euler-Lagrange-Gleichung. Ein gemeinsames Werk der beiden gibt es, anders als oft behauptet, nicht; sie arbeiteten in Briefen und Akademieschriften aufeinander bezogen.

Lagrange und der Mittelwertsatz

Lagrange versuchte in der Théorie des fonctions analytiques (1797), die Analysis ohne unendlich kleine Größen auf Potenzreihen zu gründen. Der Versuch scheiterte, hinterließ aber die Schreibweise f′(x) für die Ableitung und eine Restgliedformel für Taylor-Reihen, deren einfachster Fall der Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist. Er besagt: Ist f auf dem Intervall [a; b] stetig und dazwischen differenzierbar, so gibt es eine Stelle ξ zwischen a und b, an der die Tangentensteigung gleich der mittleren Steigung ist. Einen Spezialfall für Polynome hatte Michel Rolle schon 1691 formuliert.

Auch die komplexen Zahlen verloren ihren Schrecken. Euler und d’Alembert versuchten zu beweisen, dass jedes Polynom eine Nullstelle in den komplexen Zahlen hat (Fundamentalsatz der Algebra); ein weitgehend überzeugender Beweis gelang erst Carl Friedrich Gauß 1799. Wie die Analysis heute in der Schule aufgebaut ist, zeigt die Seite Analysis.

Zahlentheorie: Goldbach, Euler und Lagrange

Am 7. Juni 1742 schrieb Christian Goldbach, ein aus Königsberg stammender Gelehrter, der als Sekretär der Petersburger Akademie, Erzieher des jungen Zaren Peter II. und später im russischen Außenministerium tätig war, an Euler. Er vermutete, jede ganze Zahl größer als 2 lasse sich als Summe von drei Primzahlen schreiben (damals zählte man die 1 noch zu den Primzahlen). In seiner Antwort vom 30. Juni 1742 formulierte Euler die stärkere Aussage, die heute als Goldbachsche Vermutung bekannt ist:

Euler griff viele Behauptungen Fermats auf. 1732 widerlegte er dessen Vermutung, alle Zahlen 2²ⁿ + 1 seien prim: 2³² + 1 = 4.294.967.297 = 641 · 6.700.417. Er bewies den kleinen Fermatschen Satz, verallgemeinerte ihn mit der nach ihm benannten φ-Funktion und entdeckte 1737 das Euler-Produkt, das die Primzahlen mit unendlichen Reihen verbindet und zeigt, dass schon die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen unendlich groß wird. Lagrange bewies 1770 den Vier-Quadrate-Satz: Jede natürliche Zahl ist Summe von höchstens vier Quadratzahlen, etwa 7 = 4 + 1 + 1 + 1 oder 31 = 25 + 4 + 1 + 1. Außerdem entwickelte er eine vollständige Theorie der Pellschen Gleichung.

Adrien-Marie Legendre fasste das Wissen 1798 im Essai sur la théorie des nombres zusammen. Er formulierte das quadratische Reziprozitätsgesetz, das Euler bereits vermutet hatte, mit dem heute nach ihm benannten Symbol, doch sein Beweis blieb lückenhaft; den ersten vollständigen fand Gauß 1796. Legendre äußerte auch eine erste Vermutung darüber, wie dicht die Primzahlen verteilt sind, und bereitete damit den Primzahlsatz des 19. Jahrhunderts vor.

Wahrscheinlichkeit und Statistik

Nach Jakob Bernoullis Gesetz der großen Zahlen wurde die Wahrscheinlichkeitsrechnung zu einer eigenen Disziplin. Eine Schlüsselfigur war Abraham de Moivre. Als französischer Protestant hatte er nach der Aufhebung des Edikts von Nantes (1685) Frankreich verlassen und lebte in London als Privatlehrer, befreundet mit Newton, aber ohne je eine Professur zu erhalten. In The Doctrine of Chances (1718) behandelte er Glücksspiele und Leibrenten. 1733 zeigte er, dass sich die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung bei vielen Versuchen durch eine glockenförmige Kurve annähern lassen. Das war die erste Form der Normalverteilung. Dafür benötigte er eine Näherung für große Fakultäten, die James Stirling 1730 vervollständigt hatte.

Nach de Moivre ist auch eine Formel für Potenzen komplexer Zahlen benannt. Er nutzte sie in seinen Arbeiten, ausdrücklich in der heutigen Form schrieb sie aber erst Euler 1748 auf:

Der englische Pfarrer Thomas Bayes untersuchte, wie man aus beobachteten Häufigkeiten auf eine unbekannte Wahrscheinlichkeit schließen kann; sein Aufsatz erschien 1763 nach seinem Tod. Unabhängig davon entwickelte Pierre-Simon Laplace 1774 dieselbe Idee des Schließens von Wirkungen auf Ursachen, die heute als Bayes-Statistik große Bedeutung hat. Weitere Beispiele zeigen die Breite des Gebiets: Georges-Louis Leclerc de Buffon berechnete, wie wahrscheinlich eine geworfene Nadel eine Linie auf dem Fußboden trifft (Buffonsches Nadelproblem, veröffentlicht 1777); damit lässt sich π experimentell schätzen. Daniel Bernoulli bewertete 1760 mit Sterbetafeln den Nutzen der Pockenimpfung, und Nicolas de Condorcet entdeckte 1785, dass Mehrheitsentscheidungen zwischen drei Möglichkeiten zu Zirkeln führen können (Condorcet-Paradoxon). Grundlagen dazu bieten die Seiten Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.

Algebra: Gleichungen und Determinanten

In der Algebra standen zwei Fragen im Vordergrund: lineare Gleichungssysteme und die Lösung von Gleichungen höheren Grades. Gabriel Cramer veröffentlichte 1750 die nach ihm benannte Regel, die Lösungen linearer Systeme mit Determinanten ausdrückt; Alexandre-Théophile Vandermonde baute die Determinantentheorie 1771/72 aus (heute behandelt man das mit Matrizen). Für Gleichungen fünften Grades suchte man seit Cardano vergeblich eine Lösungsformel.

Lagrange analysierte 1770/71 in seinen Réflexions sur la résolution algébrique des équations erstmals systematisch, warum die bekannten Formeln für Gleichungen dritten und vierten Grades funktionieren: Er untersuchte, wie sich Ausdrücke in den Lösungen verhalten, wenn man diese untereinander vertauscht. Dieser Blick auf Vertauschungen (Permutationen) war ein entscheidender Vorläufer der Gruppentheorie. Der heute „Satz von Lagrange“ genannte Lehrsatz über Untergruppen geht auf eine solche Beobachtung zurück, wurde in seiner allgemeinen Form aber erst im 19. Jahrhundert formuliert. Die Unlösbarkeit der allgemeinen Gleichung fünften Grades bewiesen schließlich Niels Henrik Abel und Évariste Galois.

Geometrie: Parallelen, π und darstellende Geometrie

Seit der Antike versuchten Mathematiker, das Parallelenaxiom aus Euklids übrigen Axiomen herzuleiten. Der Jesuit Giovanni Girolamo Saccheri nahm 1733 an, es gelte nicht, und hoffte auf einen Widerspruch. Er leitete zahlreiche Sätze einer anderen Geometrie ab, erklärte sie aber für „der Natur der Geraden zuwider“. Weiter ging Johann Heinrich Lambert aus Mülhausen in seiner Theorie der Parallellinien (1766, gedruckt 1786): Er erkannte, dass in einer solchen Geometrie die Winkelsumme im Dreieck kleiner als 180° wäre und die Fläche vom Winkeldefizit abhinge, und vermutete einen Zusammenhang mit einer Kugel von „imaginärem“ Radius. Diese Vorarbeiten führten im 19. Jahrhundert zur nichteuklidischen Geometrie.

Lambert bewies 1761 (gedruckt 1768) mit Hilfe von Kettenbrüchen, dass die Kreiszahl π irrational ist, sich also nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Er vermutete bereits, dass π sogar transzendent ist, also keine Lösung einer Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten; das bewies Ferdinand von Lindemann 1882. Lambert arbeitete zudem über Kartenprojektionen, Lichtmessung und die Hyperbelfunktionen, die Vincenzo Riccati 1757 eingeführt hatte.

Gaspard Monge entwickelte an der Ingenieurschule in Mézières die darstellende Geometrie: Ein räumlicher Körper wird durch senkrechte Parallelprojektion auf zwei zueinander senkrechte Ebenen eindeutig festgelegt, nämlich als Grundriss und Aufriss. Weil das Verfahren für den Festungsbau wichtig war, galt es lange als militärisches Geheimnis. Erst 1795 lehrte Monge es öffentlich, 1799 erschien sein Lehrbuch. Technisches Zeichnen beruht bis heute auf dieser Methode. Monge begründete außerdem die Differentialgeometrie der Flächen mit und zählte 1794 zu den Gründern der École polytechnique.

Mechanik und Himmelsmechanik

Die großen Anwendungen der Analysis lagen in der Mechanik. Alexis-Claude Clairaut berechnete 1743 die Gestalt einer rotierenden, flüssigen Erde und sagte 1758 zusammen mit Joseph-Jérôme Lalande und der Rechnerin Nicole-Reine Lepaute die Wiederkehr des Halleyschen Kometen voraus; er erschien im März 1759, rund einen Monat vor dem berechneten Termin. Das war ein spektakulärer Erfolg der Newtonschen Theorie. D’Alembert führte in seinem Traité de dynamique (1743) Bewegungsprobleme auf Gleichgewichtsprobleme zurück.

Den Höhepunkt bildete Lagranges Mécanique analytique (1788). Lagrange leitete die gesamte Mechanik aus wenigen Prinzipien mit den Mitteln der Analysis ab und verzichtete bewusst auf geometrische Anschauung.

„Man wird in diesem Werk keine Figuren finden.“

Pierre-Simon Laplace, oft „der französische Newton“ genannt, zeigte, dass die gegenseitigen Störungen der Planeten das Sonnensystem auf lange Sicht nicht destabilisieren, und fasste die Himmelsmechanik in seinem fünfbändigen Traité de mécanique céleste (1799–1825) zusammen. Auf ihn gehen die Laplace-Gleichung und die Idee eines vollkommen vorhersagbaren Universums zurück: Eine Intelligenz, die alle Kräfte und Positionen kennt, könnte die gesamte Zukunft berechnen („Laplacescher Dämon“, 1814). Lagrange, Laplace und Legendre werden wegen ihrer Anfangsbuchstaben auch als „die drei L“ der französischen Mathematik bezeichnet.

Frauen in der Mathematik der Aufklärung

Universitäten und Akademien standen Frauen fast überall verschlossen. Dennoch prägten einige Mathematikerinnen das Jahrhundert. Émilie du Châtelet (1706–1749) schrieb mit den Institutions de physique (1740) ein Lehrbuch zur Naturphilosophie und übersetzte Newtons Principia mit eigenem Kommentar ins Französische; die Übersetzung erschien nach ihrem Tod und ist bis heute die maßgebliche französische Ausgabe. Maria Gaetana Agnesi (1718–1799) veröffentlichte 1748 in Mailand die Instituzioni analitiche, ein vielgelobtes Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung; Papst Benedikt XIV. ernannte sie 1750 zur Ehrenprofessorin in Bologna. Die nach ihr benannte Kurve heißt im Englischen wegen eines Übersetzungsfehlers „Witch of Agnesi“, denn das italienische versiera wurde mit avversiera („Hexe“) verwechselt.

Nicole-Reine Lepaute leistete einen großen Teil der Rechenarbeit für die Halley-Vorhersage, und in Bologna lehrte Laura Bassi als eine der ersten Frauen an einer Universität Physik. Am Ende des Jahrhunderts begann die Laufbahn von Sophie Germain: Weil Frauen an der École polytechnique nicht studieren durften, besorgte sie sich ab 1794 Vorlesungsmitschriften und schickte Lagrange unter dem Namen eines ehemaligen Studenten, „Monsieur Le Blanc“, eine Arbeit, die ihn so beeindruckte, dass er die Verfasserin kennenlernen wollte.

Revolution, Meter und École polytechnique

Die Französische Revolution veränderte die Rolle der Mathematik grundlegend. 1791 schlug eine Kommission der Akademie, der unter anderem Lagrange, Laplace, Monge und Condorcet angehörten, ein neues Längenmaß vor: Der Meter sollte der zehnmillionste Teil des Viertelmeridians vom Nordpol zum Äquator sein. Die Astronomen Jean-Baptiste Delambre und Pierre Méchain vermaßen dafür 1792–1798 den Meridianbogen zwischen Dünkirchen und Barcelona; 1799 wurde ein Platinstab als Urmeter hinterlegt. Legendre wirkte in der Kommission mit und steuerte Berechnungsverfahren für die Landvermessung bei. Die Messung selbst führte er nicht durch, wie gelegentlich zu lesen ist. Das Dezimalsystem sollte auch Gewichte, Winkel und sogar die Uhrzeit erfassen; die Dezimalzeit scheiterte, der Meter setzte sich weltweit durch.

1794 gründete der Nationalkonvent die École polytechnique zur Ausbildung von Ingenieuren und Offizieren, mit Monge und Lagrange als Lehrern. Hier wurde Mathematik erstmals auf hohem Niveau systematisch für viele Studenten unterrichtet; aus der Schule gingen im 19. Jahrhundert Mathematiker wie Augustin-Louis Cauchy hervor. Die Revolution forderte aber auch Opfer: Condorcet, ein Pionier der Wahl- und Wahrscheinlichkeitstheorie, starb 1794 in Haft.

Wichtige Mathematiker des 18. Jahrhunderts

• Jakob I. Bernoulli (1655–1705) und Johann I. Bernoulli (1667–1748): Ausbau der Analysis, Variationsrechnung, Gesetz der großen Zahlen
• Abraham de Moivre (1667–1754): Normalverteilung als Näherung, Formel von de Moivre
• Christian Goldbach (1690–1764): Goldbachsche Vermutung, Briefwechsel mit Euler
• Leonhard Euler (1707–1783): Analysis, Zahlentheorie, Graphentheorie, Mechanik, Notation
• Johann Heinrich Lambert (1728–1777): Irrationalität von π, Theorie der Parallellinien
• Joseph-Louis Lagrange (1736–1813): Variationsrechnung, analytische Mechanik, Vier-Quadrate-Satz
• Gaspard Monge (1746–1818): darstellende Geometrie, École polytechnique
• Pierre-Simon Laplace (1749–1827): Himmelsmechanik, Wahrscheinlichkeitstheorie
• Adrien-Marie Legendre (1752–1833): Zahlentheorie, Geometrie-Lehrbuch, Methode der kleinsten Quadrate

Ebenfalls bedeutend waren Brook Taylor (1685–1731), Colin Maclaurin (1698–1746), Daniel Bernoulli (1700–1782), Émilie du Châtelet (1706–1749), Alexis-Claude Clairaut (1713–1765), Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717–1783) und Maria Gaetana Agnesi (1718–1799). Eine Gesamtübersicht bietet die Seite Wichtige Mathematiker.

Zeitleiste: Mathematik von 1700 bis 1800

1. 1700 Gründung der Berliner Sozietät der Wissenschaften mit Leibniz als Präsident.
2. 1713 Jakob Bernoullis Ars conjectandi mit dem Gesetz der großen Zahlen erscheint.
3. 1715 Brook Taylor veröffentlicht die Taylor-Reihe.
4. 1727 Euler geht an die 1725 eröffnete Akademie in Sankt Petersburg.
5. 1733 De Moivre nähert die Binomialverteilung durch die Normalverteilung an; Saccheri untersucht das Parallelenaxiom.
6. 1735 Euler löst das Basler Problem; 1736 folgt das Königsberger Brückenproblem.
7. 1742 Goldbach und Euler formulieren im Briefwechsel die Goldbachsche Vermutung.
8. 1748 Eulers Introductio in analysin infinitorum und Agnesis Instituzioni analitiche erscheinen.
9. 1761 Lambert beweist die Irrationalität von π.
10. 1770 Lagrange beweist den Vier-Quadrate-Satz und untersucht die Auflösung von Gleichungen.
11. 1788 Lagranges Mécanique analytique erscheint.
12. 1794 Gründung der École polytechnique; 1799 wird das Urmeter hinterlegt.

Erbe: Was das 18. Jahrhundert hinterließ

Das 18. Jahrhundert machte aus den Entdeckungen des 17. Jahrhunderts eine geschlossene Disziplin mit einheitlicher Sprache. Eulers Lehrbücher bestimmten, wie Analysis gelehrt wird, seine Symbole stehen in jedem Schulbuch, und die Differentialgleichungen der Mechanik bilden bis heute das Rückgrat von Physik und Ingenieurwesen.

Zugleich übergab das Jahrhundert seinem Nachfolger eine Liste offener Fragen: Was ist ein Grenzwert, was eine Funktion, wann konvergiert eine Reihe? Lässt sich die Gleichung fünften Grades auflösen? Folgt das Parallelenaxiom aus den übrigen Axiomen? Ist das quadratische Reziprozitätsgesetz beweisbar? Die Antworten (strenge Analysis, Gruppentheorie, nichteuklidische Geometrie und die Zahlentheorie von Gauß) prägen die Mathematik des 19. Jahrhunderts. Die Goldbachsche Vermutung dagegen ist bis heute offen.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 2: Von Euler bis zur Gegenwart, Springer, Berlin 2009.
• Emil A. Fellmann: Leonhard Euler, Rowohlt, Reinbek 1995.
• Ronald S. Calinger: Leonhard Euler. Mathematical Genius in the Enlightenment, Princeton University Press, Princeton 2016.
• Ken Alder: The Measure of All Things. The Seven-Year Odyssey and Hidden Error That Transformed the World, Free Press, New York 2002.
• MacTutor History of Mathematics: Leonhard Euler (englisch)
• The Euler Archive: Eulers Schriften im Original (englisch)