Gaspard Monge

Gaspard Monge (1746–1818) war ein französischer Mathematiker und Ingenieur, der die darstellende Geometrie begründete. Sie zeigt, wie man dreidimensionale Gegenstände so auf ebenen Zeichnungen abbildet, dass man jede Länge und jeden Winkel genau ablesen oder konstruieren kann. Ihr Grundgedanke, einen Körper durch zwei senkrecht zueinander gelegte Ansichten festzulegen, steckt in jeder technischen Zeichnung, vom Möbelstück bis zum Motor.

Monge war aber mehr als ein Zeichenlehrer. Er gehörte zu den Gründern der École polytechnique, einer der angesehensten Ingenieur-Hochschulen Frankreichs, schuf wichtige Sätze über Flächen im Raum und stellte 1781 ein Transportproblem, das heute in der Informatik wieder aktuell ist. Er war Minister in der Revolution, Freund Napoleons und Mitglied der Ägypten-Expedition. Sein Leben spiegelt die Mathematik des 18. Jahrhunderts, in der Wissenschaft und Staat enger zusammenrückten.

Leben: Vom Händlersohn zum Grafen

Herkunft und Mézières

Monge wurde am 9. Mai 1746 in Beaune im Burgund geboren. Sein Vater Jacques war ein Händler, der aus Savoyen stammte. Gaspard besuchte die Oratorianerschule in seiner Heimatstadt, danach das Collège de la Trinité in Lyon und unterrichtete dort schon mit 17 Jahren Physik. Als er 1764 nach Beaune zurückkehrte, zeichnete er einen großen Stadtplan. Der Überlieferung nach empfahl ihn ein Ingenieuroffizier, der den Plan sah, an die Militär-Ingenieurschule in Mézières, wo Monge 1765 als Zeichner angestellt wurde. Offiziersränge waren damals Adligen vorbehalten; als Händlersohn kam Monge nur als Zeichner infrage.

Gerade dort machte er seine große Entdeckung. Die Schule sollte angehende Offiziere lehren, Festungen so zu planen, dass sie von höher gelegenen Punkten nicht eingesehen und beschossen werden können, eine Aufgabe, die man Defilement nannte. Bisher löste man sie mit langen Rechnungen. Monge ersetzte die Rechnung durch geometrische Konstruktionen mit zwei Zeichenebenen. Der Kommandant soll das Ergebnis zunächst nicht angenommen haben, weil es so schnell vorlag. Das Verfahren war militärisch wertvoll und blieb jahrelang geheim. Ab 1769 war Monge Professor für Mathematik in Mézières.

Revolution, Napoleon und Ägypten

1780 nahm ihn die Akademie der Wissenschaften in Paris auf. Als die Revolution ausbrach, stellte er sich auf ihre Seite: Von August 1792 bis April 1793 war er Marineminister, danach beteiligte er sich an der Waffenproduktion für die Revolutionsarmee. 1794 gehörte er zu den Gründern der École centrale des travaux publics, die ab 1795 École polytechnique hieß. 1795 hielt er an der kurzlebigen École normale Vorlesungen über darstellende Geometrie. Zusammen mit Lagrange und Laplace gehörte er zur Elite der französischen Wissenschaft.

Mit Napoleon verband ihn eine enge Freundschaft. 1798 nahm Monge an der Expedition nach Ägypten teil und wurde am 21. August 1798 Präsident des in Kairo gegründeten Institut d’Égypte; Sekretär war Joseph Fourier. Napoleon erhob ihn 1808 zum Grafen von Péluse, benannt nach einer antiken Hafenstadt im Nildelta. Nach Napoleons Sturz 1815 verlor Monge seine Ämter. 1816 wurde er aus dem Institut de France ausgeschlossen und lebte angefeindet in Paris, wo er am 28. Juli 1818 starb. Studierende der École polytechnique erwiesen ihm trotz Widerstands der Regierung die letzte Ehre.

Darstellende Geometrie: Räume auf Papier

Ein Gegenstand im Raum hat drei Maße: Länge, Breite und Höhe. Papier hat nur zwei. Monge löste dieses Problem mit zwei Ebenen, die senkrecht aufeinanderstehen wie Boden und Wand eines Zimmers. Jeder Punkt wird senkrecht auf beide Ebenen projiziert: auf die vordere Wand ergibt sich der Aufriss (Ansicht von vorn), auf den Boden der Grundriss (Ansicht von oben). Dann dreht man den Boden um die Knickkante nach unten, bis er in der Ebene der Wand liegt und beide Bilder auf einem Blatt zu sehen sind. Die Knickkante heißt Rissachse.

Aus den beiden Bildern lässt sich alles ablesen, was man über den Körper wissen will: Wo liegt ein Punkt? Wie lang ist eine Strecke wirklich? Wo schneidet eine Ebene einen Körper? Wie groß ist der Winkel zwischen zwei Geraden? Solche Aufgaben löst man mit Zirkel und Lineal, ohne Rechnung. Zwei Bilder reichen, weil der eine Punkt im Aufriss die Höhe und im Grundriss die Tiefe festlegt.

Das Verfahren war nicht ganz ohne Vorgänger: Schon Albrecht Dürer und Girard Desargues hatten Körper durch Projektionen dargestellt. Monges Verdienst war, daraus eine eigene Wissenschaft mit festen Regeln und Beweisen zu machen. Weil seine Methode militärisch wichtig war, durfte er sie zunächst nicht veröffentlichen. Erst 1795 durfte er sie an der École normale öffentlich lehren; das Buch Géométrie descriptive erschien 1799 nach Mitschriften dieser Vorlesungen. Heute lernen Ingenieurinnen und Architekten das Verfahren als „Technisches Zeichnen“ in den Ansichten von vorn, oben und von der Seite.

Die École polytechnique

1794 entstand auf Betreiben von Monge, Lazare Carnot und anderen in Paris eine neue Schule für Ingenieure, die Mathematik und Naturwissenschaften auf höchstem Niveau mit praktischen Aufgaben verband. Ab 1795 hieß sie École polytechnique. Monge lehrte dort darstellende Geometrie, Lagrange unterrichtete Analysis. Zu den Studenten zählten später Augustin-Louis Cauchy, der Physiker Augustin Fresnel und Sadi Carnot, der Begründer der Thermodynamik. Die Schule gibt es bis heute, und sie wurde zum Vorbild für Hochschulen in ganz Europa.

Flächen, Krümmung und das Transportproblem

Krümmungslinien

Monge untersuchte auch gekrümmte Flächen im Raum. Eine Fläche wie ein Hügel krümmt sich an jedem Punkt in verschiedene Richtungen unterschiedlich stark. Schon Euler hatte 1760 gezeigt, dass es an jedem Punkt einer glatten Fläche zwei senkrechte Richtungen gibt, in denen die Krümmung am stärksten und am schwächsten ist. Monge verfolgte diese Richtungen über die ganze Fläche hinweg. Die Kurven, die ihnen folgen, heißen Krümmungslinien. Er gab 1781 die Differentialgleichung für sie an und wandte sie 1795 auf das Ellipsoid an. Damit zählt er zu den Begründern der Differentialgeometrie. Eine Fläche wie ein Kegel oder Zylinder lässt sich ohne Dehnen in die Ebene abrollen; solche „abwickelbaren Flächen“ spielen im Schiffbau, bei Blechen und bei Papierfalten eine Rolle.

Das Mongesche Transportproblem

1781 legte Monge der Pariser Akademie eine Arbeit über déblais et remblais vor, also Aushub und Aufschüttung. Man denke an eine Baustelle, auf der Erde in mehreren Haufen liegt, während an anderen Stellen Gruben zu füllen sind. Wie schafft man die Erde so von den Haufen in die Gruben, dass die gesamte Arbeit (Menge mal Weg) möglichst klein bleibt? Das ist das Mongesche Transportproblem. Monge untersuchte es mit geometrischen Mitteln. Es gilt als frühes Beispiel für die lineare Optimierung.

Lange Zeit stand es am Rand der Mathematik. Der sowjetische Mathematiker Leonid Kantorowitsch griff es 1942 neu auf und erhielt später für Arbeiten zur optimalen Verteilung knapper Mittel den Wirtschaftsnobelpreis. Heute spielt es als optimaler Transport eine große Rolle: in der Bildverarbeitung, wo der Abstand zwischen zwei Bildern daran gemessen wird, wie viel „Farbmasse“ man verschieben muss, im maschinellen Lernen und in der Wirtschaft.

Zeitleiste: Gaspard Monges Leben

1. 1746 Geburt am 9. Mai in Beaune
2. 1765 Zeichner an der Ingenieurschule in Mézières
3. 1769 Professor für Mathematik in Mézières
4. 1780 Aufnahme in die Pariser Akademie der Wissenschaften
5. 1781 Abhandlung über Aushub und Aufschüttung, Krümmungslinien
6. 1792 Marineminister der Revolutionsregierung
7. 1794 Mitgründung der École polytechnique
8. 1798 Ägypten-Expedition, Präsident des Institut d’Égypte
9. 1808 Graf von Péluse
10. 1816 Ausschluss aus dem Institut de France
11. 1818 Tod am 28. Juli in Paris

Bedeutung und Nachwirkung

Wer heute ein Haus plant, ein Auto entwirft oder ein Bauteil am Computer konstruiert, benutzt Monges Idee der senkrechten Projektion. Die Programme für computergestütztes Konstruieren (CAD) erzeugen Grundriss, Aufriss und Seitenriss nach denselben Regeln wie sein Zeichenbrett. Auch die Vorstellung, dass sich der Raum durch Koordinaten und Schnitte erforschen lässt, ist ein Erbe seiner Schule. Seine Schüler und Nachfolger wie Jean-Victor Poncelet bauten darauf die projektive Geometrie weiter aus.

Quellen und weiterführende Literatur

• René Taton: L’œuvre scientifique de Monge. Presses Universitaires de France, Paris 1951.
• Cédric Villani: Optimal Transport. Old and New. Springer, Berlin 2009.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Springer, Berlin 2008/2009.
• MacTutor History of Mathematics: Gaspard Monge (englisch)
• Wikipedia: Gaspard Monge