Fourierreihen: Aufgaben mit Lösungen

Hier zerlegst du periodische Funktionen in Sinus- und Kosinusanteile. Wähle oben eine Aufgabenart oder lass sie gemischt. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt.

Das brauchst du

• Koeffizienten: a_k = (1/π) ∫ f(x) cos kx dx und b_k = (1/π) ∫ f(x) sin kx dx über [−π, π]. Der konstante Anteil ist a₀/2, der Mittelwert von f.
• Additionstheoreme: sin a·cos b = ½ (sin(a+b) + sin(a−b)), cos a·cos b = ½ (cos(a−b) + cos(a+b)), sin a·sin b = ½ (cos(a−b) − cos(a+b)), sin²x = ½ − ½ cos 2x, cos²x = ½ + ½ cos 2x.
• Symmetrie: Gerade Funktionen haben nur Kosinusglieder, ungerade nur Sinusglieder.
• Sprungstelle: Die Reihe konvergiert gegen den Mittelwert aus rechts- und linksseitigem Grenzwert (Dirichlet).
• Parseval: (1/π) ∫ f² dx = a₀²/2 + Σ (a_k² + b_k²). Der Mittelwert von f² über eine Periode ist (a₀/2)² + ½ Σ (a_k² + b_k²).
• Rechteck: Bei Amplitude A ist b_k = 4A/(kπ) für ungerades k und 0 für gerades k.

Alles steht auf der Seite Fourierreihen bei den Orthogonalitätsrelationen, den Beispielen, der Konvergenz und der Parseval-Gleichung.