Sunzi

Sunzi (auch Sun Zi, „Meister Sun“) ist der Verfasser des Sunzi Suanjing, des „Rechenbuchs des Meisters Sun“. Der chinesische Mathematiker lebte vermutlich im 3. bis 5. Jahrhundert n. Chr., Genaueres weiß man nicht. Sein Buch erklärt das Rechnen mit Zählstäbchen und enthält die älteste bekannte Aufgabe zum Chinesischen Restsatz, mit dem man eine Zahl aus ihren Resten bei der Division bestimmt.

Wichtig ist die Abgrenzung von Sun Tzu, dem Verfasser des Militärklassikers Die Kunst des Krieges. Dieses Werk wird traditionell einem Strategen namens Sun Wu im 6. oder 5. Jahrhundert v. Chr. zugeschrieben. Beide heißen in der Pinyin-Umschrift „Sunzi“, denn das bedeutet einfach „Meister Sun“. Der Mathematiker lebte viele Jahrhunderte später. Im 17. Jahrhundert hielt man beide zeitweise für dieselbe Person, bis chinesische Gelehrte zeigten, dass das Rechenbuch Steuern und Maße einer viel jüngeren Zeit nennt.

Wer war Sunzi?

Über den Verfasser ist nichts überliefert außer seinem Buch. In den offiziellen Geschichtswerken kommt er nicht vor, er war also wohl kein hoher Beamter, sondern ein Gelehrter in bescheidener Stellung. Eine Aufgabe erwähnt ein buddhistisches Sutra, vielleicht war er Buddhist. Die Datierung ist schwierig, weil das Buch im Lauf der Zeit verändert wurde. Ein Verzeichnis von 636 nennt zwei Teile, heute sind es drei. Hinweise auf Steuersystem und Längenmaße im Text deuten auf das 5. Jahrhundert, andere Forscher nennen das 3. oder 4. Jahrhundert.

Das Sunzi Suanjing: Aufbau und Inhalt

Das Buch zählt zu den „Zehn Rechenklassikern“, die in China später als Lehrbücher dienten. Der erste Teil erklärt Maße und das Rechnen mit Zählstäbchen: Multiplikation, Division und Quadratwurzeln. Die Teile 2 und 3 enthalten 28 und 36 Aufgaben zu Brüchen, Flächen und Rauminhalten, ähnlich wie die älteren Neun Kapitel der Rechenkunst, nur einfacher (siehe Chinesische Mathematik).

Gerechnet wurde auf einem Brett mit kleinen Stäbchen aus Bambus, Holz oder Elfenbein. Einer stehen senkrecht, Zehner liegen waagerecht, Hunderter stehen wieder senkrecht und so fort. Das ergibt ein Stellenwertsystem wie unser Zehnersystem, eine leere Stelle bleibt einfach frei. Bei der Multiplikation liegt der erste Faktor oben, der zweite unten, und in der Mitte entsteht Schritt für Schritt das Produkt.

Die Restaufgabe: Reste 2, 3, 2 ergeben 23

Aufgabe 26 im dritten Teil lautet sinngemäß: Eine unbekannte Anzahl von Dingen wird abgezählt. Zählt man zu je drei, bleiben 2 übrig, zu je fünf bleiben 3 übrig, zu je sieben bleiben 2 übrig. Wie viele Dinge sind es? Das Buch antwortet 23.

Sunzis Lösungsweg

Sunzi gibt keine Begründung, nur eine Rechenregel für beliebige Reste: Man multipliziert den Rest bei 3 mit 70, den Rest bei 5 mit 21 und den Rest bei 7 mit 15 und addiert die Ergebnisse. Ist die Summe 106 oder größer, zieht man Vielfache von 105 ab. Für die Aufgabe gilt:

Die Zahlen 70, 21 und 15 sind Bausteine mit einer besonderen Eigenschaft:

• 70 ist durch 5 und 7 teilbar und lässt bei Division durch 3 den Rest 1 (70 = 23 · 3 + 1).
• 21 ist durch 3 und 7 teilbar und lässt bei Division durch 5 den Rest 1 (21 = 4 · 5 + 1).
• 15 ist durch 3 und 5 teilbar und lässt bei Division durch 7 den Rest 1 (15 = 2 · 7 + 1).

Jeder Baustein beeinflusst also nur eine der drei Divisionen, und dort erzeugt er genau den Rest 1. Multipliziert man ihn mit dem gewünschten Rest, passt diese Bedingung, die anderen bleiben unberührt. Die Summe erfüllt alle drei zugleich. Weil 3, 5 und 7 paarweise keinen gemeinsamen Teiler haben, wiederholt sich das Ergebnis alle 3 · 5 · 7 = 105 Zahlen: Auch 128 und 233 erfüllen die drei Bedingungen. 105 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 3, 5 und 7. Die kleinste Lösung ist 23. Moderne Schreibweise: Aus x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5) und x ≡ 2 (mod 7) folgt x ≡ 23 (mod 105).

Fasane und Hasen

Eine weitere berühmte Aufgabe des Buches: In einem Käfig sitzen Fasane und Hasen. Man zählt 35 Köpfe und 94 Füße. Wie viele Tiere jeder Sorte sind es? Sunzi halbiert die Füße: 94 : 2 = 47. Jeder Fasan trägt davon 1 bei, jeder Hase 2. Gäbe es nur Fasane, wäre die Summe so groß wie die Zahl der Köpfe, also 35. Der Überschuss 47 − 35 = 12 entsteht allein durch die Hasen, die jeweils 1 mehr beitragen. Es sind also 12 Hasen und 35 − 12 = 23 Fasane. Probe: 23 · 2 + 12 · 4 = 46 + 48 = 94. Heute löst man das als lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.

Zeitleiste: Sunzi und der Restsatz

1. 6./5. Jh. v. Chr. Der Überlieferung nach lebt der Stratege Sun Wu (Sun Tzu), nicht der Mathematiker.
2. 263 Liu Hui kommentiert die Neun Kapitel der Rechenkunst.
3. 3.–5. Jh. Das Sunzi Suanjing entsteht, nach Ansicht vieler Forscher eher später.
4. 636 Ein Bücherverzeichnis nennt das Sunzi Suanjing mit zwei Teilen.
5. 1247 Qin Jiushao verallgemeinert den Restsatz.
6. 1801 Carl Friedrich Gauß führt die Schreibweise mit Kongruenzen in die Zahlentheorie ein.
7. 1852 Alexander Wylie macht die chinesische Mathematik im Westen bekannt.

Bedeutung heute: Reste im Computer

Der Chinesische Restsatz ist ein Grundwerkzeug der Zahlentheorie. Er besagt: Sind die Teiler paarweise teilerfremd, dann gibt es zu jeder Wahl der Reste genau eine Lösung unterhalb des Produkts der Teiler. Computer nutzen das, um sehr große Zahlen in Reste mehrerer kleiner Zahlen zu zerlegen und damit schneller zu rechnen. Auch die Entschlüsselung beim Verschlüsselungsverfahren RSA wird so beschleunigt. In China heißt der Satz bis heute Sunzi-Satz. Die Bezeichnung „Chinesischer Restsatz“ erhielt er im Westen erst im 19. Jahrhundert, nachdem Wylie die chinesische Mathematik bekannt gemacht hatte. Eine Einordnung des Buches gibt der Artikel Chinesische Mathematik, die spätere Entwicklung der chinesischen Mathematik zeigt der Artikel über Yang Hui.

Häufige Fragen

Ist Sunzi derselbe wie Sun Tzu?

Nein. Sun Tzu schrieb die Kunst des Krieges, Sunzi das Rechenbuch Sunzi Suanjing. Beide Namen bedeuten „Meister Sun“, die Personen lebten viele Jahrhunderte auseinander.

Was ist der Chinesische Restsatz?

Er sagt, dass man eine Zahl eindeutig bis auf Vielfache des Produkts festlegen kann, wenn man ihre Reste bei mehreren paarweise teilerfremden Teilern kennt. Sunzi löste den Fall der Teiler 3, 5 und 7.

Quellen und weiterführende Literatur

• Lam Lay Yong, Ang Tian Se: Fleeting Footsteps. Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China, World Scientific, Singapur 1992.
• Jean-Claude Martzloff: A History of Chinese Mathematics, Springer, Berlin 1997.
• MacTutor History of Mathematics: Sun Zi (englisch)
• Wikipedia: Sun Zi (Mathematiker)