Yang Hui

Yang Hui (um 1238–um 1298) war ein chinesischer Mathematiker und Lehrbuchautor der Südlichen Song-Zeit. Er stammte aus Qiantang, dem heutigen Hangzhou, und schrieb zwischen 1261 und 1275 mehrere Bücher über Rechenverfahren, Gleichungen, Zahlenreihen und magische Quadrate. In China trägt das Yang-Hui-Dreieck seinen Namen: eine Zahlenpyramide, in der jede Zahl die Summe der beiden darüberstehenden ist. Bei uns kennt man sie als Pascalsches Dreieck.

Erfunden hat Yang Hui das Dreieck nicht, und er behauptet es auch nicht: Er nennt den älteren Gelehrten Jia Xian als Quelle. Sein Verdienst liegt woanders. Er sammelte das Wissen seiner Zeit, ordnete es und erklärte es so, dass Anfänger es verstehen konnten. Sein Buch von 1261 enthält die älteste erhaltene chinesische Abbildung des Dreiecks. Damit gehört er zu den Autoren, die das Wissen der chinesischen Mathematik für spätere Generationen bewahrt haben.

Leben: ein Lehrer in der Song-Zeit

Über Yang Huis Leben ist fast nichts bekannt. Sicher ist nur, was in seinen Büchern steht: Er nennt seinen Lehrer Liu Yi aus der Provinz Guangdong und vier Freunde, die sich ebenfalls für Mathematik interessierten, alle sonst unbekannt. Weil Yang Hui in keinen amtlichen Aufzeichnungen auftaucht, war er wohl höchstens ein einfacher Beamter. Andere halten ihn eher für einen Lehrer, denn seine Bücher lesen sich wie Unterricht.

Er war ein Zeitgenosse von Qin Jiushao und Li Zhi, deren Hauptwerke etwa 15 Jahre vor seinem ersten Buch erschienen. Die Song-Dynastie regierte damals nur noch den Süden Chinas und fiel 1279 an die Mongolen, vier Jahre nach Yang Huis letzten Büchern.

Seine Bücher: Rechnen erklärt statt bloß vorgeführt

Das erste bekannte Werk ist das Xiangjie jiuzhang suanfa von 1261, etwa „Ausführliche Erklärung der Rechenverfahren in den Neun Kapiteln“. Die Neun Kapitel der Rechenkunst waren das wichtigste Aufgabenbuch Chinas, kommentiert unter anderem von Liu Hui. Yang Hui wählte daraus 80 der 246 Aufgaben aus und behandelt jede in drei Schritten: Er erklärt den Gedanken dahinter, rechnet ein Zahlenbeispiel und zeigt, wie man dasselbe Verfahren auf ähnliche Aufgaben überträgt.

Ein Jahr später folgte das Riyong suanfa („Rechnen für den Alltag“), ein Buch für junge Leser, das nur aus Zitaten bekannt ist. Drei Bücher von 1274 und 1275 behandeln Multiplikation und Division, Flächenmessung und „seltsame Eigenschaften der Zahlen“.

Das Yang-Hui-Dreieck: Zahlen, die sich selbst bauen

Das Dreieck entsteht nach einer einfachen Regel. Ganz oben steht eine 1. Jede Zeile beginnt und endet mit einer 1, und jede Zahl dazwischen ist die Summe der beiden Zahlen, die in der Zeile darüber schräg links und rechts von ihr stehen. Die Tabelle zeigt die ersten sieben Zeilen. Yang Huis Zeichnung von 1261 reicht bis zur sechsten Potenz, also genauso weit.

Der Nutzen steht in der Beschriftung der Tabelle: Multipliziert man (a + b) mehrfach mit sich selbst, entstehen immer dieselben Zahlen als Faktoren. Aus Zeile 3 liest man ab: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Wie das Ausmultiplizieren funktioniert, erklärt die Lernseite zu Binomen. Chinesische Rechner brauchten solche Zahlen zum Ziehen von Quadrat- und Kubikwurzeln und für Gleichungen höheren Grades, ein Vorläufer des Horner-Schemas.

Jia Xian, von dem Yang Hui Dreieck und Wurzelmethode übernahm, lebte um 1050. Sein Werk ist verloren und nur über Yang Hui bekannt. Ähnliche Zahlenanordnungen kannte man auch in Indien (Halayudha, 10. Jahrhundert) und in der islamischen Welt (al-Karadschi um das Jahr 1000, Omar Chayyam um 1100), teils nur aus späteren Berichten. Zhu Shijie zeigte 1303 ein Dreieck mit neun Zeilen, Petrus Apian druckte es 1527 auf das Titelblatt seines Rechenbuchs, und 1654 untersuchte es Blaise Pascal so gründlich, dass sein Name hängen blieb.

Magische Quadrate: Zahlendiagramme mit Überraschung

Im Buch von 1275 stellt Yang Hui Zahlenfelder vor, die wir magische Quadrate nennen. Die Zahlen von 1 bis n² sind darin so verteilt, dass alle Zeilen, Spalten und beide Diagonalen dieselbe Summe ergeben. Das Wort „magisch“ benutzt Yang Hui nicht, er spricht schlicht von Zahlendiagrammen und will Menschen für Zahlen begeistern. Das Quadrat der Ordnung 3 war in China schon lange bekannt:

Nachrechnen lohnt sich: 4 + 9 + 2 = 15, ebenso 3 + 5 + 7 und 8 + 1 + 6, und die Diagonalen 4 + 5 + 6 und 2 + 5 + 8 ergeben ebenfalls 15. Für Ordnung n gilt allgemein die Summe n · (n² + 1) : 2. Yang Hui zeigt je zwei Quadrate der Ordnungen 4 bis 8, eines der Ordnung 9 und eines der Ordnung 10, das nur in Zeilen und Spalten stimmt. Quadrate höherer Ordnung sind in älteren chinesischen Schriften nicht überliefert. Dazu kommen „magische Kreise“, bei denen die Zahlen auf jedem von mehreren sich überschneidenden Kreisen dieselbe Summe haben.

Aufgaben und Reihen

Yang Huis Aufgaben sind oft kleine Rätsel, bei denen er das Prinzip hinter dem Rechenweg sichtbar macht. Eine Aufgabe, die schon in älteren Büchern steht und auch bei ihm vorkommt, handelt von Fasanen und Kaninchen:

Auch Reihen behandelt er, etwa die Summe 1 + 3 + 6 + 10 + … + n(n + 1) : 2 = n(n + 1)(n + 2) : 6. Für n = 4 ergibt sich 1 + 3 + 6 + 10 = 20, und die 20 steht in der Mitte von Zeile 6 des Dreiecks. Aufgaben mit zwei Unbekannten löste er mit den Zahlen der Gleichungen allein, ohne Buchstaben, auf einem Weg, der dem heutigen Stoff der linearen Gleichungssysteme ähnelt.

Ein Lehrplan für Mathematik

Besonders modern wirkt der Lehrplan, den Yang Hui seinen Büchern von 1274 voranstellt. Er legt fest, was in welcher Reihenfolge und in welcher Zeit zu lernen ist, und begründet es: Lernende sollen die Sache verstehen, nicht nur auswendig lernen. Üblich war es damals, einen klassischen Text nach dem anderen durchzuarbeiten, jeden ein bis zwei Jahre lang. Yangs Plan bietet stattdessen einen zusammenhängenden Weg, der bei den Grundlagen beginnt.

Zeitleiste

1. um 1050 Jia Xian beschreibt das Zahlendreieck und ein Wurzelverfahren; sein Buch ist verloren.
2. um 1238 Geburt Yang Huis in Qiantang (Hangzhou).
3. 1261 Xiangjie jiuzhang suanfa mit der ältesten erhaltenen chinesischen Abbildung des Dreiecks.
4. 1274–1275 Drei weitere Bücher mit Lehrplan, Flächenmessung und magischen Quadraten.
5. um 1298 Tod Yang Huis.
6. 1303 Zhu Shijie zeigt in seinem Siyuan yujian ein Dreieck mit neun Zeilen.
7. 1654 Pascal untersucht das „arithmetische Dreieck“ systematisch.

Was von Yang Hui bleibt

Teile von Yang Huis Büchern überstanden die Zeit in der riesigen Enzyklopädie Yongle dadian des frühen 15. Jahrhunderts, und das Yang Hui suanfa wurde 1433 in Korea nachgedruckt. Das Dreieck begegnet uns heute beim Ausmultiplizieren von Klammern, beim Zählen von Möglichkeiten in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und bei den Binomialkoeffizienten der Analysis.

Quellen und weiterführende Literatur

• Lam Lay Yong: A Critical Study of the Yang Hui Suan Fa. A Thirteenth-Century Chinese Mathematical Treatise, Singapore University Press, Singapur 1977.
• Jean-Claude Martzloff: A History of Chinese Mathematics, Springer, Berlin und Heidelberg 1997.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Yang Hui (englisch)
• Wikipedia: Yang Hui