Rechner · Klasse 11 bis Studium
Matrizenrechner: Determinante, Inverse und Eigenwerte
Der Matrizenrechner rechnet mit Matrizen bis 8 × 8, exakt mit Brüchen und mit jedem Umformungsschritt. Er berechnet Determinanten mit der Regel von Sarrus oder dem Gauß-Verfahren, invertiert Matrizen und bestimmt im Erweitert-Modus Eigenwerte und Eigenvektoren.
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So benutzt du den Matrizenrechner
Wähle die Rechnung und gib die Matrix A zeilenweise ein: jede Zeile in eine eigene Zeile, die Einträge durch Leerzeichen getrennt. Brüche wie 3/4 und Dezimalzahlen wie 0,5 sind erlaubt. Für Produkt, Summe und Differenz erscheint ein zweites Feld für die Matrix B. Im Erweitert-Bereich kannst du den ausführlichen Rechenweg ausschalten.
Die Determinante
Die Determinante ist eine Zahl, die man jeder quadratischen Matrix zuordnet. Ist sie 0, sind die Zeilen linear abhängig und die Matrix ist nicht invertierbar. Geometrisch gibt ihr Betrag an, wie stark die Matrix Flächen oder Volumen vergrößert.
- 2 × 2: det A = a₁₁ · a₂₂ − a₁₂ · a₂₁. Für die Zeilen (1, 2) und (3, 4) ist das 4 − 6 = −2.
- 3 × 3: Regel von Sarrus. Man addiert die Produkte der drei Hauptdiagonalen und zieht die Produkte der drei Nebendiagonalen ab. Für die Beispielmatrix oben ergibt das −13.
- Größere Matrizen: Gauß-Verfahren bis zur Dreiecksform, dann die Diagonale multiplizieren. Jeder Zeilentausch kehrt das Vorzeichen um.
Die Inverse
Die inverse Matrix A⁻¹ macht die Wirkung von A rückgängig: A · A⁻¹ = E, die Einheitsmatrix. Der Rechner verwendet das Gauß-Jordan-Verfahren: Er schreibt A und E nebeneinander und formt so lange um, bis links die Einheitsmatrix steht. Dann steht rechts A⁻¹. Für 2 × 2-Matrizen gibt es eine Abkürzung: Hauptdiagonale tauschen, Nebendiagonale mit −1 multiplizieren und alles durch die Determinante teilen.
Matrizen multiplizieren
Den Eintrag in Zeile i und Spalte j von A · B erhältst du, indem du Zeile i von A mit Spalte j von B multiplizierst und die Produkte addierst. Das geht nur, wenn A so viele Spalten hat wie B Zeilen. Anders als bei Zahlen kommt es auf die Reihenfolge an: Mit A = (1 2 | 3 4) und B = (0 1 | 1 0) ist A · B = (2 1 | 4 3), aber B · A = (3 4 | 1 2).
Erweitert: Eigenwerte
Ein Eigenvektor v wird von A nur gestreckt, nicht gedreht: A · v = λ · v. Die Zahl λ heißt Eigenwert. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(A − λE). Der Rechner bestimmt es exakt und nennt zu jedem rationalen Eigenwert die Eigenvektoren. Eigenwerte stecken in vielen Anwendungen, von Schwingungen in der Physik bis zum PageRank-Verfahren, mit dem Google früher Webseiten sortierte. Mehr dazu im Kapitel Matrizen.
Häufige Fragen
Warum gibt es für manche Matrizen keine Inverse?
Wenn die Determinante 0 ist, bildet die Matrix verschiedene Vektoren auf denselben ab. Diese Wirkung lässt sich nicht eindeutig umkehren, ähnlich wie man durch 0 nicht teilen kann.
Was ist der Rang einer Matrix?
Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen. Man liest ihn an der Stufenform ab: Er ist die Anzahl der Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen.
Kann ich damit Gleichungssysteme lösen?
Ja, über die Inverse: Aus A · x = b folgt x = A⁻¹ · b. Bequemer ist der Gleichungssystem-Rechner, der auch Systeme ohne oder mit unendlich vielen Lösungen behandelt.
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