Luca Pacioli

Luca Pacioli (um 1447–1517) war ein italienischer Mathematiker und Franziskanermönch aus Sansepolcro in der Toskana. Er schrieb 1494 die Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, ein Lehrbuch auf rund 600 Seiten, das fast das ganze mathematische Wissen seiner Zeit enthielt. Berühmt ist es vor allem für einen Abschnitt, der als erste gedruckte Darstellung der doppelten Buchführung gilt. Deshalb nennt man Pacioli bis heute den „Vater der Buchhaltung“.

Er war auch der Mathematiklehrer und Freund von Leonardo da Vinci. Für sein Buch De divina proportione über den Goldenen Schnitt zeichnete Leonardo die Vielflächner. Er war eher Sammler und Vermittler als Entdecker, doch als Autor in der Volkssprache erreichte er Kaufleute, Handwerker und Künstler. Zur Epoche mehr unter Mathematik des 16. Jahrhunderts.

Vom Rechenschüler zum Professor

Pacioli wuchs in Sansepolcro auf und besuchte eine Abakusschule, in der Kaufmannssöhne praktisches Rechnen lernten, ausdrücklich nicht auf Latein, sondern in der Landessprache. Um 1464 ging er nach Venedig und unterrichtete dort die Söhne eines Kaufmanns. Zwischen 1472 und 1475 trat er in den Franziskanerorden ein und hieß seither „Fra Luca“. Ab 1477 lehrte er Mathematik an der Universität Perugia. Später arbeitete er in Zara, Rom, Neapel, Florenz, Bologna und wieder in Venedig.

Entscheidend war die Zeit in Mailand. Herzog Ludovico Sforza holte ihn 1496 oder 1497 an seinen Hof, wo er mit Leonardo da Vinci zusammenlebte und ihn unterrichtete. 1499 vertrieb der französische König die Sforza, und beide mussten die Stadt verlassen. Ihre Wege trennten sich etwa 1506. Pacioli starb 1517, vermutlich in seiner Heimatstadt.

Die Summa von 1494

Die Summa war ein Sammelwerk: Arithmetik, Algebra, Geometrie, Handelsrechnen, Währungs- und Maßtabellen. Pacioli schöpfte aus älteren Büchern, vor allem aus dem Liber abaci von Leonardo von Pisa und aus den Abakusschulen. Viele Aufgaben übernahm er aus dem Rechenbuch von Piero della Francesca, ohne ihn zu nennen. Schon im 16. Jahrhundert warf ihm Giorgio Vasari deshalb Plagiat vor. Neu war, dass all das in einem gedruckten Buch in der Volkssprache stand.

Algebra ohne Formeln

Pacioli rechnete in Worten und Abkürzungen. Die Unbekannte hieß cosa („Sache“), ihr Quadrat censo, ihr Kubus cubo. Für „plus“ und „minus“ schrieb er die Kürzel p̄ (von più) und m̄ (von meno). Eine Gleichung wie x² + 3x = 10 lautete bei ihm sinngemäß: „1 censo plus 3 cose sind gleich 10“. Für Gleichungen dritten Grades wie x³ + mx = n hielt er eine allgemeine Lösung für so unmöglich wie die Quadratur des Kreises. Das reizte seine Nachfolger: Tartaglia, Cardano und Ferrari fanden sie wenige Jahrzehnte später.

Doppelte Buchführung: jede Buchung zweimal

Im Abschnitt Particularis de computis et scripturis („Über Rechnungen und Schriften“) beschreibt Pacioli das „venezianische Verfahren“. Der Kaufmann führt drei Bücher: ein Memoriale für Notizen, ein Giornale (Tagebuch) für die Buchungen und ein Quaderno (Hauptbuch) mit den Konten. Das Prinzip: Jeder Vorgang wird zweimal erfasst, einmal links (Soll) und einmal rechts (Haben).

Pacioli beginnt mit einem Inventar aller Güter, schlägt eine Probebilanz vor (die Summen beider Seiten müssen gleich sein) und zeigt Abschlussbuchungen am Jahresende. Sein Abschnitt wurde in viele Sprachen übersetzt und von anderen Autoren nachgeschrieben. Das Grundprinzip gilt noch heute in jedem Unternehmen. Verwandte Themen stehen auf den Lernseiten Kaufmännisches Rechnen und Prozentrechnung.

Auch Rechenregeln für Geldanlagen stehen in der Summa, etwa die Regel von 72: Teilt man 72 durch den Zinssatz in Prozent, erhält man ungefähr die Jahre, nach denen sich ein Guthaben verdoppelt. Bei 6 % sind das 72 : 6 = 12 Jahre, der exakte Wert liegt bei 11,9 Jahren.

Göttliche Proportion und Leonardo

In Mailand schrieb Pacioli De divina proportione („Über die göttliche Proportion“), gedruckt 1509 in Venedig. Das Buch behandelt das Verhältnis, das heute Goldener Schnitt heißt: Man teilt eine Strecke so in einen längeren Teil und einen kürzeren, dass sich die ganze Strecke zum längeren Teil verhält wie der längere zum kürzeren. Das Verhältnis beträgt (1 + √5) / 2 ≈ 1,618. Bei einer 100 cm langen Strecke sind die Teile etwa 61,8 cm und 38,2 cm. Pacioli nannte es „göttlich“. Zu seinen Gründen zählte, dass es einzigartig ist und sich nicht als Bruch ganzer Zahlen ausdrücken lässt.

Leonardo da Vinci zeichnete für das Buch Vielflächner, also Körper mit ebenen Flächen. Er stellte sie als Gerüste aus Leisten dar, durch die man auch ihre Rückseite sieht, wohl die ersten Zeichnungen dieser Art. Ein Gemälde von Jacopo de’ Barbari zeigt Pacioli um 1500 mit Büchern neben einem aufgehängten Glasmodell eines Vielflächners (Museo di Capodimonte, Neapel). Im selben Jahr 1509 gab Pacioli in Venedig auch eine eigene Ausgabe der Elemente des Euklid heraus.

Ein Fehler mit Folgen: das Teilungsproblem

Die Summa stellt auch ein Glücksspielrätsel: Zwei Spieler brechen ein Spiel ab, bevor einer die nötigen Siege hat. Wie teilt man den Einsatz gerecht? Pacioli teilte im Verhältnis der bisher gewonnenen Runden. Führt A in einem Spiel bis 6 Siege mit 5 : 3, bekäme A also 5/8. Das ist ungerecht, denn B müsste dreimal in Folge gewinnen, was nur mit Wahrscheinlichkeit 1/8 geschieht. Richtig ist die Teilung 7 : 1. Diese Lösung fanden erst 1654 Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Briefwechsel, mit dem die Wahrscheinlichkeitsrechnung begann.

Zeitleiste: Luca Pacioli

1. um 1447 Geburt in Sansepolcro in der Toskana
2. um 1464 Umzug nach Venedig, Hauslehrer in einer Kaufmannsfamilie
3. 1472–1475 Eintritt in den Franziskanerorden
4. 1477 Lehrstuhl für Mathematik in Perugia
5. 1489 Johannes Widmann druckt erstmals die Zeichen + und −
6. 1494 Summa mit der doppelten Buchführung erscheint in Venedig
7. 1496/97 Pacioli geht an den Hof von Mailand und arbeitet mit Leonardo da Vinci
8. 1509 De divina proportione und Euklid-Ausgabe in Venedig
9. 1517 Tod, vermutlich in Sansepolcro

Bedeutung und Nachwirkung

Paciolis Summa prägte den Rechenunterricht in Italien und weit darüber hinaus. Die Buchführung, die er beschrieb, bildet bis heute die Grundlage der Bilanzen von Firmen, Banken und Vereinen. Der Goldene Schnitt, den er „göttlich“ nannte, begegnet uns in Kunst, Architektur und Design. Dass er überall in der Natur steckt, wird allerdings oft übertrieben. Wichtig bleibt, dass Pacioli Mathematik gemeinsam mit Kunst und Handel dachte, wie es für die Renaissance typisch war.

Quellen und weiterführende Literatur

• R. Emmett Taylor: No Royal Road. Luca Pacioli and His Times, University of North Carolina Press, Chapel Hill 1942.
• Enrico Giusti, Carlo Maccagni (Hrsg.): Luca Pacioli e la matematica del Rinascimento, Giunti, Florenz 1994.
• Jane Gleeson-White: Soll und Haben. Die doppelte Buchführung und die Entstehung des modernen Kapitalismus, Klett-Cotta, Stuttgart 2015.
• MacTutor History of Mathematics: Luca Pacioli (englisch)
• Wikipedia: Luca Pacioli