KI beweist die Quasi-Riemann-Vermutung: Was dahintersteckt

Ein KI-Modell des Unternehmens OpenAI hat nach Angaben der Firma die Quasi-Riemann-Vermutung bewiesen: Alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion liegen in einem Streifen mit festem Abstand zu den Rändern, nämlich zwischen den Realteilen 1/8 und 7/8. Die eigentliche Riemannsche Vermutung verlangt mehr, dort müssten alle Nullstellen genau auf der Mittellinie mit dem Realteil 1/2 liegen. Trotzdem sprechen Zahlentheoretiker vom bisher größten Erfolg einer KI in der Mathematik.

Die Arbeit erschien am 6. Oktober 2026 als eines von mehr als 700 Manuskripten, die OpenAI auf der Plattform GitHub veröffentlichte. Am 19. Oktober berichtete das Wissenschaftsmagazin Quanta ausführlich über die ersten Reaktionen der Fachwelt. Eine Begutachtung in einer Fachzeitschrift gibt es noch nicht.

Worum es geht: Nullstellen in einem Streifen

Die Zetafunktion verbindet die Primzahlen mit der Analysis. Leonhard Euler entdeckte 1737, dass die Summe 1 + 1/2^s + 1/3^s + … sich als Produkt über alle Primzahlen schreiben lässt. Bernhard Riemann setzte 1859 für s komplexe Zahlen ein und zeigte, dass die Lage der Nullstellen dieser Funktion bestimmt, wie gleichmäßig die Primzahlen verteilt sind. Die interessanten, nichttrivialen Nullstellen liegen alle in einem Streifen der komplexen Zahlenebene, dem kritischen Streifen zwischen den Realteilen 0 und 1. Sie liegen außerdem spiegelbildlich zur Mittellinie mit dem Realteil 1/2.

Riemann vermutete, dass alle diese Nullstellen genau auf der Mittellinie liegen, der kritischen Geraden. Bewiesen war bisher viel weniger: Seit 1896 weiß man, dass auf dem Rand mit dem Realteil 1 keine Nullstelle liegt. Das genügte Jacques Hadamard und Charles de la Vallée Poussin für den Beweis des Primzahlsatzes. Mit wachsender Höhe im Streifen durften die Nullstellen dem Rand aber beliebig nahe kommen, die bekannten nullstellenfreien Bereiche wurden nach oben immer schmaler.

Die Quasi-Riemann-Vermutung fragt nach einem festen Sicherheitsabstand: Gibt es eine Zahl kleiner als 1, über deren Realteil hinaus nirgends eine Nullstelle liegt, egal wie weit oben man sucht? Genau das zeigt der neue Beweis mit der Schranke 7/8.

Was das für die Primzahlen bedeutet

Der Primzahlsatz sagt, wie viele Primzahlen es ungefähr bis zu einer Grenze x gibt: etwa so viele, wie der Integrallogarithmus Li(x) angibt, also ungefähr x/ln x. Wie groß der Fehler dieser Schätzung höchstens ist, hängt direkt davon ab, wie weit rechts im Streifen noch Nullstellen liegen können. Ein nullstellenfreier Bereich jenseits des Realteils σ bedeutet, dass der Fehler höchstens etwa wie x^σ wächst.

• Bisher bewiesen: ein Fehler, der nur wenig kleiner ist als x selbst.
• Mit dem neuen Beweis: ein Fehler von höchstens etwa x^7/8, mit der zweiten Fassung etwa x^11/12. Für x = 10²⁴ ist x^7/8 = 10²¹, also ein Tausendstel von x.
• Mit der Riemannschen Vermutung: ein Fehler von etwa x^1/2, also etwa der Wurzel aus x. Das ist das Beste, was überhaupt möglich ist.

Der Mathematiker Maksym Radziwiłł von der New York University sagte Quanta, die meisten Folgerungen, die man bisher nur unter Annahme der Riemannschen Vermutung kannte, folgten bereits aus der Quasi-Version. Dazu gehören Aussagen darüber, wie groß die Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen höchstens sind und wie gleichmäßig sich Primzahlen auf Restklassen verteilen. Die zweite Fassung schließt nach eigener Angabe außerdem die sogenannten Landau-Siegel-Nullstellen aus, ein hartnäckiges Hindernis, das seit Jahrzehnten verhindert, dass man in vielen Sätzen über Primzahlen in arithmetischen Folgen die Konstanten tatsächlich ausrechnen kann. Wie Primzahlen grundsätzlich verteilt sind, erklärt die Lernseite Primzahlen.

Wie der Beweis entstand und veröffentlicht wurde

OpenAI stellte am 6. Oktober 2026 ein Verzeichnis mit Manuskripten eines internen Modells ins Netz. Nach Angabe des Verzeichnisses sind es 719 Manuskripte in 372 Themenfamilien, von denen etwa 42 Prozent der Hauptergebnisse in Lean formalisiert sind. Lean ist ein Programm, das jeden Schritt eines Beweises mechanisch nachprüft. Die Quasi-Riemann-Vermutung trägt dort die Nummer 003. Es gibt zwei Fassungen:

• Das Manuskript vom 30. September 2026 mit rund 200 Seiten beweist die nullstellenfreie Halbebene jenseits von 7/8, für die Zetafunktion, alle Dirichletschen L-Funktionen und eine weitere Familie verwandter Funktionen. Dieser Beweis ist in Lean formalisiert.
• Das Manuskript vom 5. Oktober 2026 mit 49 Seiten zeigt auf anderem Weg die Halbebene jenseits von 11/12. Laut Quanta ist es das einzige der Manuskripte, das ein Mensch bearbeitet hat, und es war bei Redaktionsschluss des Magazins noch nicht formalisiert.

Fachleute konzentrieren sich vor allem auf das kürzere Manuskript. Der Beweis verbindet nach ihrer Darstellung bekannte Werkzeuge der Zahlentheorie auf eine neue Weise, darunter sogenannte metaplektische Formen und eine Formel, die Alexander Dunn und Maksym Radziwiłł 2021 veröffentlicht hatten. Radziwiłł sagt, er könne die Grundidee auf einer halben Seite skizzieren. Beide Manuskripte seien aber schlecht geschrieben und genügten nicht den Maßstäben einer Fachzeitschrift.

Wie die Fachwelt reagiert

Die Reaktionen sind ungewöhnlich deutlich. Jared Duker Lichtman von der Stanford University nannte den Beweis gegenüber Quanta mit großem Abstand die bisher bedeutendste Leistung einer KI in der Mathematik. Unter Kolleginnen und Kollegen kursieren bereits eigene, sieben bis dreizehn Seiten lange Zusammenfassungen des Arguments, veröffentlicht ist davon noch keine.

Zurückhaltend äußert sich Peter Sarnak von der Princeton University, der seit Langem für den Weg über Familien verwandter Funktionen geworben hatte: Er will das Ergebnis erst als Satz ansehen, wenn Menschen alle Einzelheiten geprüft und verstanden haben, und baut dafür eine Lehrveranstaltung um. Will Sawin, ebenfalls Princeton, bezweifelt, dass die neuen Methoden bis zur Schranke 1/2 und damit zur vollen Riemannschen Vermutung reichen. Thomas Bloom von der University of Manchester sieht das ähnlich, räumt aber ein, dass er vor wenigen Wochen auch die Quasi-Version für unerreichbar gehalten hätte.

Einordnung: 167 Jahre Arbeit an Riemanns Frage

Seit Riemann haben Generationen von Mathematikern Teilantworten gefunden. G. H. Hardy bewies 1914, dass unendlich viele Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen. Norman Levinson zeigte 1974, dass es mehr als ein Drittel aller Nullstellen sind, Brian Conrey 1989 mehr als zwei Fünftel. Im August 2026 meldete das KI-Unternehmen Anthropic, eine Forschungsversion seines Modells Claude habe diesen Anteil auf mindestens 67,2 Prozent gesteigert (mehr dazu). Die Quasi-Riemann-Vermutung ist eine andere Art von Fortschritt: Sie sagt nichts darüber, wie viele Nullstellen genau auf der Geraden liegen, aber sie verbietet allen Nullstellen die Nähe zum Rand.

1. 1737 Euler verbindet die Summe der Kehrwerte von Potenzen mit einem Produkt über alle Primzahlen.
2. 1859 Riemann untersucht die Zetafunktion für komplexe Zahlen und formuliert seine Vermutung.
3. 1896 Hadamard und de la Vallée Poussin zeigen, dass auf dem Rand mit dem Realteil 1 keine Nullstelle liegt, und beweisen den Primzahlsatz.
4. 1900 Hilbert nimmt die Riemannsche Vermutung in seine Problemliste auf.
5. 1914 Hardy beweist: Unendlich viele Nullstellen liegen auf der kritischen Geraden.
6. 1974 und 1989 Levinson und Conrey zeigen, dass mindestens ein Drittel und dann zwei Fünftel der Nullstellen auf der Geraden liegen.
7. 2000 Das Clay-Institut setzt eine Million US-Dollar für einen Beweis aus.
8. August 2026 Anthropic meldet einen KI-Beweis für mindestens 67,2 Prozent der Nullstellen auf der Geraden.
9. 6. Oktober 2026 OpenAI veröffentlicht einen KI-Beweis der Quasi-Riemann-Vermutung mit der Schranke 7/8.

Wie Maschinen schon seit Jahrzehnten beim Beweisen helfen und was OpenAI zum Navier-Stokes-Problem behauptet, steht im Beitrag KI löst offene Matheprobleme. Die großen Entwicklungen seit dem Jahr 2000 beschreibt die Epoche Mathematik im 21. Jahrhundert.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Quanta Magazine: AI Proved the Quasi-Riemann Hypothesis. What Happens Now? (englisch, 19. Oktober 2026)
• OpenAI: Verzeichnis der Manuskripte auf GitHub mit Inhaltsübersicht (Familie 003), Lean-Formalisierungen und Änderungsprotokoll (englisch)
• Anthropic: Mitteilung zum Anteil der Nullstellen auf der kritischen Geraden (englisch, 10. August 2026)
• Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik, C. H. Beck, München 2004.
• Enrico Bombieri: Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis, Problembeschreibung für das Clay Mathematics Institute, 2000.
• Wikipedia: Riemannsche Vermutung