Rechner · Klasse 9 bis Studium
Vierfeldertafel-Rechner: bedingte Wahrscheinlichkeit und Bayes
Der Vierfeldertafel-Rechner ergänzt fehlende Felder, berechnet alle bedingten Wahrscheinlichkeiten und prüft, ob zwei Merkmale unabhängig sind. Mit dem Testmodus beantwortest du die wichtigste Frage zu jedem medizinischen Test: Wie wahrscheinlich bin ich bei einem positiven Ergebnis wirklich krank?
So benutzt du den Rechner
Du kannst auf drei Arten starten. Im Testmodus gibst du an, wie häufig eine Krankheit ist (Prävalenz), wie zuverlässig der Test Kranke erkennt (Sensitivität) und wie zuverlässig er Gesunde als gesund erkennt (Spezifität). Im Baummodus gibst du P(A) und die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten von B ein. Mit einzelnen Feldern trägst du bekannte Werte direkt in die Tafel ein, der Rechner ergänzt den Rest. Prozentangaben wie 95 % und Brüche sind erlaubt.
So ist eine Vierfeldertafel aufgebaut
Eine Vierfeldertafel ordnet alle Fälle nach zwei Merkmalen, die jeweils zutreffen oder nicht. Die vier inneren Felder enthalten die Kombinationen, rechts und unten stehen die Summen. Jede Zeile und jede Spalte muss aufgehen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A) beantwortet die Frage: Wie wahrscheinlich ist A, wenn man schon weiß, dass B eingetreten ist? Man betrachtet dann nur noch die Spalte B:
Im Beispiel haben 20 Personen einen Hund, 12 davon tragen eine Brille. Also ist PB(A) = 12/20 = 3/5 = 60 %. Umgekehrt haben von den 30 Brillenträgern 12 einen Hund, PA(B) = 12/30 = 40 %. Die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten sind verschieden, und genau diese Verwechslung führt oft zu Fehlschlüssen.
Medizinische Tests und der Satz von Bayes
Ein Test erkennt 99 % der Kranken (Sensitivität) und meldet bei 95 % der Gesunden richtig „negativ“ (Spezifität). Die Krankheit hat 1 % der Bevölkerung. Wie wahrscheinlich ist man bei einem positiven Ergebnis wirklich krank? Viele schätzen 95 % oder mehr. Die Rechnung zeigt etwas anderes:
Der Grund: Die Krankheit ist selten, deshalb übertrifft die Zahl der falsch positiven Gesunden die der richtig positiven Kranken. Allgemein beschreibt das der Satz von Bayes:
Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Merkmale heißen unabhängig, wenn das eine nichts über das andere verrät. Dann gilt P(A ∩ B) = P(A) · P(B), und die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A) ist genauso groß wie P(A). Der Rechner prüft das automatisch. Im Brillen-Beispiel ist 0,3 · 0,2 = 0,06 kleiner als 0,12, die Merkmale hängen also zusammen.
Aus der Geschichte: Thomas Bayes
Der englische Pfarrer und Mathematiker Thomas Bayes (um 1701–1761) untersuchte, wie man aus beobachteten Ereignissen auf ihre Ursachen zurückschließen kann. Seine Arbeit erschien erst 1763, zwei Jahre nach seinem Tod, herausgegeben von seinem Freund Richard Price. Unabhängig davon entwickelte Pierre-Simon Laplace die Idee weiter und machte sie zu einem Werkzeug der Naturwissenschaften. Heute stecken bayessche Überlegungen in Spamfiltern, medizinischer Diagnostik und vielen Verfahren der künstlichen Intelligenz. Mehr dazu im Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen P(A ∩ B) und PB(A)?
P(A ∩ B) ist der Anteil an allen Fällen, bei denen A und B zutreffen. PB(A) ist der Anteil innerhalb der Fälle mit B. Im Brillen-Beispiel sind das 12/100 und 12/20.
Wie viele Felder muss ich kennen?
Mindestens drei, die nicht voneinander abhängen, zum Beispiel ein inneres Feld und die beiden zugehörigen Summen sowie die Gesamtsumme. Bei Wahrscheinlichkeiten ist die Gesamtsumme automatisch 1.
Was bedeuten falsch positiv und falsch negativ?
Falsch positiv: Der Test schlägt an, obwohl die Person gesund ist. Falsch negativ: Der Test schlägt nicht an, obwohl die Person krank ist. Die Spezifität bestimmt die falsch positiven, die Sensitivität die falsch negativen Ergebnisse.