Aristoteles

Aristoteles (384–322 v. Chr.) war ein griechischer Philosoph und Naturforscher aus Stageira im Norden Griechenlands. Er war Schüler Platons, Lehrer in Athen und einer der vielseitigsten Denker der Geschichte. Für die Mathematik ist er dreifach wichtig: Er begründete die formale Logik mit der Lehre vom Schluss, dem Syllogismus. Er beschrieb, wie Wissenschaften aus Beweisen aufgebaut sein sollten. Und er legte fest, wie man vom Unendlichen reden darf: als Möglichkeit, nicht als fertige Gesamtheit.

Einen mathematischen Satz hat Aristoteles selbst nicht entdeckt. Er kannte die Mathematik seiner Zeit aber gut, etwa die Proportionenlehre des Eudoxos, und benutzte sie ständig als Vorbild für sicheres Wissen. Seine erhaltenen Schriften sind Lehrtexte aus seiner Schule, die erst gut 250 Jahre nach seinem Tod von Andronikos von Rhodos geordnet und herausgegeben wurden.

Leben: Vom Arztsohn zum Lehrer in Athen

Aristoteles wurde 384 v. Chr. in Stageira geboren. Sein Vater Nikomachos war Arzt am Hof des makedonischen Königs. Mit 17 Jahren kam er 367 v. Chr. nach Athen und trat in Platons Akademie ein, wo er rund 20 Jahre blieb, zuerst als Schüler, dann als Lehrender. Nach Platons Tod 348/347 v. Chr. verließ er Athen, forschte in Assos und auf Lesbos vor allem zur Biologie und ging um 343/342 v. Chr. an den makedonischen Hof. Nach antiker Überlieferung unterrichtete er dort den jungen Alexander. Wie lange und mit welchem Erfolg, ist unsicher, manche Forscher halten die Geschichte für eine spätere Erfindung.

335 v. Chr. kehrte er nach Athen zurück und gründete das Lykeion. Weil er beim Lehren im Wandelgang auf und ab ging, hießen seine Anhänger „Peripatetiker“. Nach Alexanders Tod 323 v. Chr. wuchs in Athen der Hass auf alles Makedonische. Aristoteles zog nach Chalkis auf Euböa und starb dort 322 v. Chr. mit etwa 62 Jahren. Ihm wird der Ausspruch zugeschrieben, er wolle nicht, dass sich Athen ein zweites Mal an der Philosophie versündige, ein Hinweis auf die Hinrichtung des Sokrates. Der Satz ist vermutlich erfunden.

Der Syllogismus: Schließen nach festen Regeln

In den Analytica priora fragt Aristoteles: Wann folgt aus zwei Aussagen zwingend eine dritte? Er erklärt:

„Ein Syllogismus ist eine Rede, in der aus gesetzten Annahmen etwas anderes als das Gesetzte mit Notwendigkeit folgt, allein weil es so gesetzt ist.“

Die beiden gesetzten Aussagen heißen Prämissen, die Folgerung Konklusion. Aristoteles benutzt für die Begriffe Buchstaben, A, B und C, und legt so das Muster fest, unabhängig vom Inhalt. Die wichtigste Form lautet: Kommt A allen B zu und B allen C, so kommt A allen C zu.

Solche Kreisbilder gehen auf Leonhard Euler im 18. Jahrhundert und auf John Venn im 19. Jahrhundert zurück. Entscheidend ist, dass die Form des Schlusses zählt, nicht sein Inhalt. Kehrt man die Reihenfolge um, entsteht ein Fehlschluss: „Alle Vielfachen von 6 sind Vielfache von 3. Die 15 ist ein Vielfaches von 3. Also ist 15 ein Vielfaches von 6.“ Das ist falsch, denn 15 liegt im großen Kreis, aber nicht im mittleren. Aristoteles beschrieb insgesamt 14 gültige Formen in drei Gruppen, den „Figuren“. Im Mittelalter erhielten sie Merknamen wie Barbara und Celarent.

Beweis und Wissenschaft

In den Analytica posteriora geht Aristoteles weiter: Eine Wissenschaft besteht aus Aussagen, die man aus unbeweisbaren Grundsätzen ableitet. Er unterscheidet Definitionen, allgemeine Axiome wie „Nimmt man von Gleichem Gleiches weg, bleibt Gleiches“ und Annahmen, die nur für ein Fachgebiet gelten, die späteren Postulate. Das erinnert stark an den Aufbau von Euklids Elementen. Wie eng der Einfluss war, ist umstritten, denn auch die Mathematiker arbeiteten schon vor ihm mit Beweisen. Als Muster für den indirekten Beweis nennt Aristoteles mehrmals die Inkommensurabilität von Seite und Diagonale, die man seit Hippasos kannte: Gäbe es ein gemeinsames Maß, wären gerade und ungerade Zahlen gleich.

Mathematik und Unendlichkeit

Platon hielt Zahlen und Figuren für Ideen, die unabhängig von allem Sichtbaren bestehen. Aristoteles sah das anders: Wir gewinnen mathematische Gegenstände durch Abstraktion. Wir betrachten einen Gegenstand ohne Farbe, Gewicht und Stoff, nur nach Form und Anzahl. Mathematik handle von den Dingen, aber in einer besonderen Betrachtungsweise.

Wichtig wurde seine Unterscheidung zweier Arten von Unendlichkeit in der Physik. Eine Strecke lässt sich potenziell immer weiter teilen, denn nach jeder Teilung ist eine weitere möglich. Aber unendlich viele Teilungen sind nie aktual fertig. Damit antwortete er auf die Paradoxien von Zenon: Ein Läufer durchquert ein endliches Stück Weg in endlicher Zeit, und weil Weg und Zeit gleichermaßen teilbar sind, entsteht kein Widerspruch. Mehr als 2.000 Jahre blieb diese Haltung Standard. Erst Cantor machte im 19. Jahrhundert das aktual Unendliche zum Gegenstand der Mathematik.

Zeitleiste: Aristoteles und seine Logik

1. 384 v. Chr. Geburt in Stageira.
2. 367 v. Chr. Eintritt in Platons Akademie in Athen mit 17 Jahren.
3. 348/347 v. Chr. Platon stirbt; Aristoteles verlässt Athen und forscht in Assos und auf Lesbos.
4. um 343 v. Chr. Wechsel an den makedonischen Hof; nach der Überlieferung Lehrer Alexanders.
5. 335 v. Chr. Gründung des Lykeion in Athen.
6. 322 v. Chr. Tod in Chalkis auf Euböa.
7. um 60 v. Chr. Andronikos von Rhodos ordnet die Schriften des Aristoteles und gibt sie heraus.
8. 1847 George Boole veröffentlicht The Mathematical Analysis of Logic.
9. 1879 Gottlob Frege begründet mit der Begriffsschrift die moderne Logik.

Bedeutung heute: Logik, Beweise und Computer

Jedes Mal, wenn man in der Schule einen Beweis führt und aus „wenn … dann …“ Schlüsse zieht, benutzt man das Erbe des Aristoteles. Die moderne mathematische Logik hat sein Fundament stark erweitert und bildet heute die Grundlage der Informatik: Computer rechnen mit den Wahr-falsch-Werten, die Boole untersuchte. Aristoteles’ Warnung vor dem fertig Unendlichen lebt in der Philosophie der Mathematik fort, etwa bei Brouwer. Einen Überblick über die Epoche bietet der Artikel griechische Mathematik.

Quellen und weiterführende Literatur

• Otfried Höffe: Aristoteles, 4. Auflage, C. H. Beck, München 2014.
• Christof Rapp: Aristoteles zur Einführung, Junius, Hamburg 2001.
• Thomas L. Heath: Mathematics in Aristotle, Clarendon Press, Oxford 1949.
• MacTutor History of Mathematics: Aristotle (englisch)
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Aristotle’s Logic (englisch)