Addieren und Subtrahieren von Termen

Drei Äpfel und fünf Äpfel sind zusammen acht Äpfel. Drei Äpfel und fünf Birnen dagegen bleiben „drei Äpfel und fünf Birnen“, denn verschiedene Sorten lassen sich nicht zu einer Anzahl verschmelzen. Genau so funktioniert das Addieren und Subtrahieren von Termen: 3x + 5x = 8x, aber 3x + 5y bleibt stehen, wie es ist. Wer erkennt, welche Terme zur selben „Sorte“ gehören, kann lange Terme auf wenige Summanden zusammenschrumpfen lassen.

Auf dieser Seite lernst du, gleichartige Terme zu erkennen und zusammenzufassen. Danach löst du Klammern auf, vor denen ein Plus oder ein Minus steht. Beides gehört zum Alltag der Algebra. Was ein Term ist, steht auf der Seite Algebraische Ausdrücke. Wörter wie Summand und Koeffizient erklärt das Glossar Grundlagen algebraischer Begriffe.

Gleichartige Terme erkennen

Ein Term wie 5x² − 3x + 2 + 4x² besteht aus vier Summanden, also aus den Teilen, die durch Plus oder Minus getrennt sind. Das Vorzeichen gehört zum Summanden dazu: Der zweite Summand ist −3x. Jeder Summand hat eine Zahl und einen Variablenteil. Die Zahl heißt Koeffizient. In 5x² ist 5 der Koeffizient und x² der Variablenteil.

Steht vor der Variablen keine Zahl, ist der Koeffizient 1, denn x = 1x. Steht nur ein Minus davor, ist er −1, denn −x = −1x.

Gleichartige Terme zusammenfassen

Das Zusammenfassen beruht auf dem Distributivgesetz: 3x + 5x ist (3 + 5) · x, also 8x. Du rechnest nur mit den Koeffizienten, der Variablenteil bleibt unverändert. So gehst du vor:

1. Markiere gleichartige Summanden, zum Beispiel mit gleichen Unterstreichungen. Das Vorzeichen nimmst du immer mit.
2. Addiere oder subtrahiere die Koeffizienten jeder Gruppe.
3. Schreibe das Ergebnis auf, zuerst den Variablenteil mit der höchsten Hochzahl, zuletzt die Zahl ohne Variable.
4. Prüfe mit einer Probe: Setze für die Variable eine Zahl ein, im Ausgangsterm und im Ergebnis. Beide Werte müssen gleich sein.

Die Reihenfolge der Summanden darfst du ändern (Kommutativgesetz), solange das Vorzeichen beim Summanden bleibt. Auch bei Potenzen gilt nichts Neues: x² + x² = 2x² ist kein eigenes Potenzgesetz, sondern Zusammenfassen gleichartiger Terme. Mehr dazu steht auf der Seite Potenzen addieren.

Klammern mit Plus und Minus auflösen

Oft stehen in einem Term Klammern, zum Beispiel 8 + (3x − 2). Eine Klammer fasst ihren Inhalt zu einer Einheit zusammen. Steht davor nur ein Plus oder ein Minus und keine Zahl, löst du sie mit zwei einfachen Regeln auf.

Plus vor der Klammer

Bei a + (b − c) addierst du den ganzen Klammerinhalt. Du lässt die Klammer einfach weg, alle Vorzeichen bleiben: a + (b − c) = a + b − c. Mit Zahlen: 10 + (4 − 1) = 10 + 3 = 13 und 10 + 4 − 1 = 13.

Minus vor der Klammer

Bei a − (b − c) ziehst du den ganzen Klammerinhalt ab. Stell dir vor, du hast 100 € und gibst 30 € aus, bekommst davon aber 10 € zurück. Dann hast du nur 30 − 10 = 20 € ausgegeben und besitzt noch 80 €. Die Rechnung lautet 100 − (30 − 10) = 80. Löst du die Klammer auf, indem du alle Vorzeichen umdrehst, erhältst du 100 − 30 + 10 = 80, also dasselbe Ergebnis.

Als Nächstes lernst du, wie du Terme multiplizierst (Multiplikation von Ausdrücken), und wie du alle Techniken zu einer Strategie verbindest (Terme vereinfachen). Das Zusammenfassen brauchst du auch beim Lösen von Gleichungen, bei Polynomen und bei quadratischen Gleichungen. Wie sich Hochzahlen verhalten, erklärt die Seite Potenzen und Exponenten.