Grundlagen algebraischer Begriffe

Die Algebra hat ihre eigene Fachsprache. Wörter wie Koeffizient, Summand oder Monom klingen am Anfang fremd, doch hinter jedem steckt ein einfacher Gedanke. Wer die Begriffe kennt, versteht Aufgabenstellungen und Erklärungen viel schneller. Diese Seite ist ein Glossar zu den Grundlagen der Algebra: Jeder Begriff wird erklärt und mit einem Beispiel belegt.

Direkt zum Begriff: Variable, Konstante, Koeffizient, Term, Summand, Faktor, Basis, Exponent, Gleichung, Ungleichung, Monom, Polynom.

Ein Term, an dem du alle Begriffe siehst

Am leichtesten merkst du dir die Begriffe an einem Beispiel. Wir zerlegen den Term 4x³ − 2x + 9 in seine Teile. Die Subtraktion zählt dabei als Addition der Gegenzahl: 4x³ − 2x + 9 ist dasselbe wie 4x³ + (−2x) + 9.

Die Bausteine: Variable, Konstante und Koeffizient

Jeder Term besteht aus drei Sorten von Bausteinen: Platzhaltern, festen Zahlen und Zahlen, die an Platzhaltern hängen.

Variable

Eine Variable ist ein Buchstabe, der für eine Zahl steht. Der Name kommt vom lateinischen variabilis, „veränderlich“, denn du darfst verschiedene Zahlen einsetzen. Manchmal ist die Variable auch eine gesuchte Unbekannte.

Beispiel: Im Term 2x + 1 steht x für eine beliebige Zahl. Für x = 5 ergibt sich 2 · 5 + 1 = 11.

Konstante

Eine Konstante ist ein fester, unveränderlicher Wert, etwa die Zahl 7 oder die Kreiszahl π ≈ 3,14159. Ein Summand ohne Variable heißt konstantes Glied. Auch Buchstaben wie a oder b können während einer Aufgabe fest sein, dann nennt man sie Parameter.

Beispiel: In 3x + 7 ist die 7 konstant, ihr Wert hängt nicht von x ab.

Koeffizient

Der Koeffizient ist der Zahlenfaktor vor einer Variablen und sagt, wie oft die Variable vorkommt. Das Wort stammt vom lateinischen co-efficiens, „mitwirkend“. Steht keine Zahl vor der Variablen, ist der Koeffizient 1. Bei einem bloßen Minuszeichen ist er −1.

Beispiel: In 7x² ist 7 der Koeffizient, in x ist es 1, in −x ist es −1 und in 3ab ist es 3.

Der Aufbau von Termen: Term, Summand, Faktor, Basis und Exponent

Term (algebraischer Ausdruck)

Ein Term ist eine sinnvolle Zusammenstellung aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern. Er enthält kein Gleichheits- und kein Ungleichheitszeichen. Schon eine einzelne Zahl oder Variable ist ein Term. Setzt du für alle Variablen Zahlen ein, erhältst du den Termwert. Mehr dazu auf der Seite Algebraische Ausdrücke.

Beispiele: 5, a, 3x + 2 und (a + b)² sind Terme. Der Term 3x + 2 hat für x = 4 den Wert 14.

Summand (Glied)

Ein Summand ist ein Teil einer Summe, also ein Term, der durch Plus oder Minus von den anderen getrennt ist. Das Vorzeichen gehört zum Summanden. Summanden mit gleicher Variable und gleichem Exponenten heißen gleichartig und lassen sich zusammenfassen (Addieren und Subtrahieren von Termen).

Beispiel: Der Term 5a − 3b + 2 hat die drei Summanden 5a, −3b und 2.

Faktor

Ein Faktor ist eine Zahl, eine Variable oder ein Klammerausdruck, der mit anderen multipliziert wird. Das Ergebnis heißt Produkt. Eine Klammer zählt als ein einziger Faktor, auch wenn in ihr eine Summe steht (Multiplikation von Ausdrücken).

Beispiel: Das Produkt 3 · x · (x + 2) hat drei Faktoren: 3, x und (x + 2).

Basis (Grundzahl)

Bei einer Potenz ist die Basis die Zahl oder Variable, die mehrfach mit sich selbst multipliziert wird. Steht eine Klammer vor dem Exponenten, gehört alles in der Klammer zur Basis.

Beispiel: In x³ ist x die Basis. In (2a)² ist 2a die Basis, deshalb gilt (2a)² = 2a · 2a = 4a². In 2a² ist dagegen nur a die Basis.

Exponent (Hochzahl)

Der Exponent steht hochgestellt rechts neben der Basis und sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. Fehlt er, ist er 1. Die Regeln zum Rechnen mit Exponenten stehen auf der Seite Potenzen und Exponenten.

Beispiel: x³ = x · x · x hat den Exponenten 3. Mit Zahlen gilt 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.

Gleichung und Ungleichung

Gleichung

Eine Gleichung verbindet zwei Terme mit dem Gleichheitszeichen. Ob sie stimmt, hängt von den eingesetzten Zahlen ab. Die Zahlen, für die sie wahr wird, heißen Lösungen. Wie du sie findest, zeigt die Seite Gleichungen lösen.

Beispiel: Die Gleichung 3x + 2 = 11 ist für x = 3 wahr, denn 3 · 3 + 2 = 11. Für x = 4 ist sie falsch, denn 3 · 4 + 2 = 14.

Ungleichung

Eine Ungleichung verbindet zwei Terme mit < (kleiner), > (größer), ≤ (kleiner oder gleich) oder ≥ (größer oder gleich). Ihre Lösung ist meist ein ganzer Bereich von Zahlen (Ungleichungen).

Beispiel: Die Ungleichung 2x − 1 < 7 gilt für alle x < 4, denn aus 2x < 8 folgt x < 4. Probe mit x = 3: 2 · 3 − 1 = 5 und 5 < 7 stimmt. Mit x = 4 wäre 7 < 7 falsch.

Monom und Polynom

Monom

Ein Monom (griechisch monos, „einzeln“) besteht aus einem Koeffizienten und Potenzen von Variablen mit Exponenten 0, 1, 2, … Zwischen den Teilen steht nur Malnehmen, nie Plus oder Minus. Auch eine einzelne Zahl ist ein Monom. Der Grad eines Monoms ist die Summe seiner Exponenten.

Beispiele: 5x³ hat den Grad 3, −2ab² hat den Grad 1 + 2 = 3, und die Zahl 7 hat den Grad 0.

Polynom

Ein Polynom (griechisch polys, „viel“) ist eine Summe von Monomen. Sein Grad ist der höchste Grad unter seinen Gliedern. Ein Polynom mit zwei Gliedern heißt Binom, mit drei Gliedern Trinom. Das Rechnen mit ihnen erklärt die Seite Polynome.

Beispiel: 4x³ − 2x + 9 ist ein Polynom vom Grad 3 und zugleich ein Trinom. Dagegen ist x + 2 ein Binom vom Grad 1.

Verwechslungen vermeiden

Wenn du die Begriffe sicher kennst, geht es weiter mit den Seiten Algebraische Ausdrücke und Wie schreibt man algebraische Terme?. Einen Überblick über alle Themen gibt die Algebra.