Multiplikation von Ausdrücken

Ein Rechteck ist 4x cm lang und 3y cm breit. Seine Fläche ist das Produkt 4x · 3y = 12xy. Diese kleine Rechnung zeigt schon das Grundprinzip der Multiplikation von Ausdrücken: Du multiplizierst die Zahlen miteinander und die Variablen miteinander. Das geht in beliebiger Reihenfolge, denn beim Malnehmen darfst du Faktoren vertauschen und beliebig zusammenfassen.

Auf dieser Seite arbeitest du dich in drei Stufen vor: Monom mal Monom, Monom mal Summe und Summe mal Summe. Dafür brauchst du die Potenzgesetze von der Seite Potenzen und Exponenten und die Vorzeichenregeln der ganzen Zahlen. Wie du Terme zusammenfasst, steht auf der Seite Addieren und Subtrahieren von Termen. Eine Übersicht über alle Themen bietet die Algebra.

Monom mal Monom

Ein Monom ist ein Term, der nur aus Malnehmen besteht, etwa 5x², −7ab oder x. Auch eine reine Zahl zählt als Monom. Beim Multiplizieren ordnest du die Faktoren um: erst die Zahlen, dann die gleichen Variablen.

Mit zwei negativen Faktoren wird das Ergebnis positiv: (−2x) · (−5xy) = 10x²y. Die Zahlen ergeben (−2) · (−5) = 10, und x · x wird zu x². Das y bleibt allein stehen.

Monom mal Summe

Steht vor einer Klammer ein Monom, wird jeder Summand in der Klammer damit multipliziert. Das ist das Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac. Die Regeln mit Flächenzeichnung findest du auf der Seite Ausmultiplizieren von Klammern. Hier geht es um das Zusammenspiel mit den Potenzgesetzen.

Summe mal Summe

Bei zwei Klammern multiplizierst du jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten. Aus 2 und 2 Summanden entstehen 2 · 2 = 4 Produkte, aus 2 und 3 Summanden sechs. Zum Schluss fasst du gleichartige Terme zusammen.

Du kannst dir das als Rechteck mit den Seitenlängen x + 3 und x + 5 vorstellen. Es zerfällt in vier Teilrechtecke mit den Flächen x², 5x, 3x und 15. Genau diese vier Produkte stehen im Ergebnis.

Haben beide Klammern die Form (a + b) oder (a − b), gibt es Abkürzungen: die binomischen Formeln auf der Seite Binome ausmultiplizieren. Das Multiplizieren längerer Summen behandelt die Seite über Polynome.

Als Nächstes lernst du die Umkehrung kennen: das Teilen von Termen auf der Seite Division von Ausdrücken. Wie du viele Rechenschritte in einer Aufgabe kombinierst, zeigt die Seite Terme vereinfachen. Die Produkte zweier Klammern tauchen später bei quadratischen Gleichungen wieder auf.