Mathematik lernen · Klasse 7–8
Algebraische Ausdrücke
Ein Term ist eine Rechnung, in der noch Platzhalter stehen. Du lernst, wie du Terme liest, ihren Wert durch Einsetzen berechnest, ihren Aufbau im Termbaum zeigst und Wertetabellen anlegst.
Dein Handyvertrag kostet 5 € Grundgebühr plus 0,10 € pro Minute. Wie teuer wird ein Monat? Das hängt von der Zahl der Minuten ab. Der algebraische Ausdruck 5 + 0,1 · m beschreibt alle möglichen Monatspreise auf einmal: Für jede Zahl m liefert er genau einen Preis. Solche Ausdrücke heißen kurz Terme.
Hier lernst du, was einen Term ausmacht, wie du seinen Wert durch Einsetzen berechnest und wie du seinen Aufbau mit einem Termbaum zeichnest. Außerdem legst du Wertetabellen an und prüfst, ob zwei Terme dasselbe bedeuten. Die Seite gehört zur Algebra. Fachwörter wie Summand oder Koeffizient schlägst du im Glossar Grundlagen algebraischer Begriffe nach.
Was sind algebraische Ausdrücke?
Ein algebraischer Ausdruck ist eine Rechenvorschrift mit Platzhaltern. Der Term 2x + 3 sagt: „Nimm eine Zahl, verdopple sie und addiere 3.“ Er ist weder wahr noch falsch, denn er behauptet nichts. Erst wenn du ein Gleichheitszeichen setzt, entsteht eine Aussage, nämlich eine Gleichung.
| Beispiel | In Worten | Term? |
|---|---|---|
| 7 | die Zahl 7 | Ja (ohne Variable) |
| 2x + 3 | doppelt x, plus 3 | Ja |
| a2 + b2 | Summe der Quadrate von a und b | Ja (zwei Variablen) |
| 5(m − 2) | das Fünffache von m minus 2 | Ja |
| 3x + 1 = 10 | 3x + 1 ist gleich 10 | Nein, eine Gleichung |
| x < 5 | x ist kleiner als 5 | Nein, eine Ungleichung |
| 4 + · x | kein sinnvoller Rechenausdruck | Nein, zwei Rechenzeichen hintereinander |
Den Termwert berechnen: Einsetzen
Setzt du für die Variable eine Zahl ein, wird aus dem Term eine gewöhnliche Rechnung. Ihr Ergebnis heißt Termwert. So gehst du vor:
- Ersetze jede Variable durch ihre Zahl. Setze die Zahl in Klammern, besonders wenn sie negativ ist.
- Rechne nach der Reihenfolge der Rechenoperationen: Klammern, Potenzen, Punkt, Strich (Reihenfolge der Rechenoperationen).
- Schreibe das Ergebnis auf, am besten mit der Angabe, für welche Zahl es gilt.
Der Aufbau eines Terms: Summe, Produkt, Potenz
Jeder Term besteht aus mehreren kleinen Rechnungen. Wichtig ist die letzte Rechnung, die du beim Ausrechnen ausführen würdest. Sie bestimmt die Struktur: Ist es eine Addition, ist der Term eine Summe. Ist es eine Multiplikation, ist er ein Produkt. Ist es das Potenzieren, ist er eine Potenz. Die Tabelle zeigt, wie stark Klammern die Struktur ändern. Die letzte Spalte gibt jeweils den Wert für x = 2 an.
| Term | Letzte Rechnung | Struktur | Wert für x = 2 |
|---|---|---|---|
| 3x + 5 | Addition | Summe | 11 |
| 3(x + 5) | Multiplikation | Produkt | 21 |
| (3x + 5)2 | Potenzieren | Potenz | 121 |
| 3x2 | Multiplikation (3 · x2) | Produkt | 12 |
| (3x)2 | Potenzieren | Potenz | 36 |
Besonders wichtig ist der Unterschied der beiden letzten Zeilen. In 3x2 bezieht sich die Hochzahl nur auf x, in (3x)2 auf das ganze Produkt 3x. Die Erklärung dazu steht auf der Seite Potenzen und Exponenten.
Der Termbaum
Den Aufbau eines Terms kannst du als Baum zeichnen. Ganz oben steht die letzte Rechnung, nach unten folgen die Teilrechnungen, und ganz unten stehen Zahlen und Variablen. Beim Ausrechnen gehst du den Baum von unten nach oben.
Lies den Baum so: Die Wurzel oben ist eine Summe aus zwei Teilen. Der linke Teil ist das Produkt aus 2 und der Klammer x + 3, der rechte Teil die Potenz x2. Für x = 4 rechnest du von unten nach oben: x + 3 = 7, dann 2 · 7 = 14, getrennt davon 42 = 16, zuletzt 14 + 16 = 30.
Wertetabellen anlegen
Oft willst du einen Term für viele Zahlen auswerten. Dann lohnt sich eine Wertetabelle: In die erste Spalte schreibst du die Zahlen für x, daneben die Rechnung und den Termwert. Die Tabelle gehört zum Term x2 − 2x.
| x | Rechnung | Termwert |
|---|---|---|
| −2 | (−2)2 − 2 · (−2) = 4 + 4 | 8 |
| −1 | (−1)2 − 2 · (−1) = 1 + 2 | 3 |
| 0 | 0 − 0 | 0 |
| 1 | 1 − 2 | −1 |
| 2 | 4 − 4 | 0 |
| 3 | 9 − 6 | 3 |
| 4 | 16 − 8 | 8 |
In der Tabelle erkennst du ein Muster: Die Werte sinken bis x = 1 auf −1 und steigen danach wieder. Die Tabelle ist symmetrisch zu x = 1: Bei 0 und 2 steht jeweils 0, bei −1 und 3 jeweils 3, bei −2 und 4 jeweils 8. Der Grund: x2 − 2x lässt sich als (x − 1)2 − 1 schreiben, und das Quadrat ist nie negativ. Trägst du die Wertepaare in ein Koordinatensystem ein, entsteht eine Parabel. Wie das geht, erfährst du auf der Seite Funktionen.
Gleichwertige Terme erkennen
Zwei Terme heißen gleichwertig (oder äquivalent), wenn sie für jede eingesetzte Zahl denselben Wert haben. Die Terme 2(x + 3) und 2x + 6 sind gleichwertig. Das siehst du in einer kleinen Tabelle:
| x | 2(x + 3) | 2x + 6 |
|---|---|---|
| 1 | 8 | 8 |
| 2 | 10 | 10 |
| 5 | 16 | 16 |
Die Gleichheit folgt aus dem Distributivgesetz, mehr dazu auf der Seite Ausmultiplizieren von Klammern. Dagegen sind (x + 3)2 und x2 + 9 nicht gleichwertig: Für x = 1 ergibt der erste Term 16, der zweite nur 10.
Als Nächstes lernst du, wie du aus Texten Terme aufstellst (Wie schreibt man algebraische Terme?). Die Grundlagen zu Variablen und Gleichungen findest du auf der Seite Grundlagen der Algebra.