Winkel

Ein Winkel sagt dir, wie weit du dich drehen musst, um von einer Richtung zu einer anderen zu kommen. In der Geometrie entsteht er, wenn zwei Strahlen im selben Punkt beginnen. Du begegnest Winkeln überall: an der Uhr, an der Tür, an der Dachschräge und an jeder Straßenkreuzung. Gemessen werden sie in Grad, geschrieben mit dem Zeichen °.

Hier lernst du die Winkelarten, das Messen und Zeichnen mit dem Geodreieck und die wichtigsten Regeln für Winkel an Geraden. Dazu kommen die Winkelsumme in Dreieck, Viereck und Vieleck und die Winkel an der Uhr. Einen Überblick findest du im Abschnitt Winkel der Seite Geometrie. Zum Üben gibt es das Arbeitsblatt Winkel berechnen.

Was ist ein Winkel?

Zeichne zwei Strahlen, die im selben Punkt S beginnen. Dieser Punkt heißt Scheitel, die Strahlen heißen Schenkel. Zusammen begrenzen sie einen Winkel. Den Winkel markierst du mit einem Bogen und gibst ihm einen Namen, meistens einen griechischen Buchstaben: α (Alpha), β (Beta), γ (Gamma), δ (Delta).

Du kannst den Winkel auch mit drei Punkten benennen: ∠ASB. Der Scheitel steht immer in der Mitte. Gemessen wird der Winkel gegen den Uhrzeigersinn, vom ersten zum zweiten Schenkel.

Die Winkelarten

Winkel werden nach ihrer Größe in sechs Arten eingeteilt. Eine volle Umdrehung hat 360°. Ein halber Kreis ergibt den gestreckten Winkel mit 180°, ein Viertelkreis den rechten Winkel mit 90°.

Als Merkhilfe: Ein spitzer Winkel ist „spitz“ wie eine Nadel, ein stumpfer „stumpf“ wie ein abgebrochener Stift. Zwei Winkel, die zusammen 90° ergeben, heißen Komplementwinkel, bei 180° heißen sie Supplementwinkel. So ist 35° die Ergänzung von 55° zum rechten Winkel.

Winkel messen und zeichnen

Zum Messen brauchst du ein Geodreieck oder einen Winkelmesser. Auf der Halbkreisskala stehen zwei Zahlenreihen, eine von links nach rechts und eine von rechts nach links. Du musst die Reihe lesen, die an dem Schenkel mit 0 beginnt.

So misst du einen Winkel:

1. Lege den Mittelpunkt der Skala genau auf den Scheitel.
2. Drehe das Geodreieck, bis ein Schenkel auf der Nulllinie liegt.
3. Suche die Zahlenreihe, die an diesem Schenkel mit 0 beginnt.
4. Lies dort ab, wo der zweite Schenkel die Skala schneidet.

Ist der Schenkel zu kurz, verlängerst du ihn mit dem Lineal. Prüfe das Ergebnis mit dem Augenmaß: Ein spitzer Winkel hat weniger als 90°, ein stumpfer mehr.

Wie du einen Winkel ohne Geodreieck mit Zirkel und Lineal halbierst, zeigt der Abschnitt Winkelhalbierende. Zum Zeichnen gehst du umgekehrt vor. Du zeichnest einen Schenkel, legst das Geodreieck mit dem Mittelpunkt auf den Scheitel und der Nulllinie auf dem Schenkel an, machst bei der gewünschten Gradzahl einen Punkt und verbindest ihn mit dem Scheitel.

Nebenwinkel und Scheitelwinkel

Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel. Zwei davon liegen immer nebeneinander und zwei einander gegenüber.

Warum gilt das? Nebenwinkel bilden zusammen eine gerade Linie, also einen gestreckten Winkel. Ein Winkel α hat zwei Nebenwinkel β. Sein Scheitelwinkel ist ebenfalls zu β ein Nebenwinkel. Beide ergänzen β zu 180°, also sind sie gleich groß.

Winkel an Parallelen

Schneidet eine Gerade t zwei Parallelen g und h, entstehen an beiden Schnittpunkten dieselben Winkel. Die Zeichnung zeigt die wichtigsten.

Die Wechselwinkel lassen sich aus den anderen Regeln folgern: Das türkisfarbene α in der Zeichnung ist der Scheitelwinkel des oberen blauen α, und das ist ein Stufenwinkel zum unteren.

Winkelsumme in Dreieck, Viereck und Vieleck

Im Dreieck ergeben die drei Innenwinkel immer 180°. Das lässt sich mit einer Parallelen zeigen. Du zeichnest durch eine Ecke die Parallele zur gegenüberliegenden Seite.

Die Wechselwinkel an der Parallelen sind so groß wie α und β. An der Ecke C liegen jetzt α, γ und β nebeneinander und bilden einen gestreckten Winkel. Also gilt:

Ein Viereck zerlegst du mit einer Diagonalen in zwei Dreiecke. Seine Winkelsumme ist 2 · 180° = 360°. Bei einem Vieleck mit n Ecken ziehst du von einer Ecke alle Diagonalen und erhältst n − 2 Dreiecke.

Mehr über das Dreieck mit seinen Winkelsätzen steht auf der Seite Dreiecke, über die Vierecke auf der Seite Vierecke.

Winkel an der Uhr

Die Uhr ist ein Kreis mit zwei Zeigern, und das ist ein schönes Übungsfeld für Winkel. Der Minutenzeiger macht in 60 Minuten eine ganze Umdrehung, also dreht er sich pro Minute um 360° : 60 = 6°. Der Stundenzeiger braucht für 12 Stunden eine Umdrehung, das sind 30° pro Stunde oder 0,5° pro Minute. Gemessen wird von der 12 aus im Uhrzeigersinn.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: Warum 360 Grad?

Dass ein Kreis 360° hat, ist eine Verabredung, und warum man sie traf, weiß man nicht sicher. Eine Erklärung: Ein Jahr hat ungefähr 360 Tage, und die Sonne rückt am Himmel pro Tag etwa ein Grad weiter. Eine andere: Die Babylonier rechneten mit der Zahl 60, dem Sexagesimalsystem, und 360 ist ein Vielfaches davon. Außerdem hat 360 sehr viele Teiler, nämlich 24, sodass sich der Kreis leicht teilen lässt. Griechische Astronomen wie Hipparchos teilten den Kreis in 360 Grad, jeden Grad in 60 Bogenminuten.

In der Geometrie des Euklid (um 300 v. Chr.) gibt es noch keine Gradzahlen. Euklid beschreibt Winkel als „Neigung“ zweier Linien zueinander und vergleicht sie mit dem rechten Winkel. In seinen Elementen steht als Satz 32 in Buch 1, dass die drei Winkel eines Dreiecks zusammen zwei rechte Winkel ergeben. Das ist unsere Winkelsumme von 180°. Der Mathematikhistoriker Thomas Heath hält es für möglich, dass sie schon Thales von Milet bekannt war.

In der Oberstufe misst man Winkel oft im Bogenmaß, 180° entsprechen dort π. Mehr dazu steht im Abschnitt Bogenmaß.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Thomas L. Heath (Hrsg.): The Thirteen Books of Euclid’s Elements, 3 Bände, 2. Auflage, Cambridge University Press, Cambridge 1926.
• Wikipedia: Winkel
• Wikipedia: Geodreieck
• Wikipedia: Grad (Winkel)