Mathematisch modellieren

Ein Stadtplan ist ein Modell einer Stadt. Er lässt fast alles weg, jeden Baum und jede Bank, und zeigt nur, was für deine Frage wichtig ist. Ein mathematisches Modell macht dasselbe mit Zahlen, Termen, Funktionen und Figuren. Mathematisch modellieren heißt, ein Problem aus der Wirklichkeit mit Hilfe der Mathematik zu lösen. Dazu übersetzt du zwischen der Wirklichkeit und der Mathematik und wieder zurück. So beschreiben es auch die Bildungsstandards.

Bei einer Sachaufgabe ist meist schon klar, was zu rechnen ist. Beim Modellieren musst du selbst entscheiden, was wichtig ist, welche Zahlen du brauchst und was du notfalls schätzt. Diese Seite zeigt den Modellierungskreislauf, das Treffen von Annahmen, das Schätzen mit Fermi-Aufgaben, das Prüfen von Ergebnissen und Beispiele von der Grundschule bis zur Oberstufe.

Was ist ein mathematisches Modell?

Der Modellierungskreislauf

Modellieren verläuft selten geradlinig, sondern meist im Kreis. Die Bildungsstandards nennen als typische Teilschritte das Strukturieren und Vereinfachen der Situation, das Übersetzen in ein mathematisches Modell, das Arbeiten im Modell, das Interpretieren der Ergebnisse und das Überprüfen, ob Ergebnis und Modell zur Situation passen. Solche Kreisläufe beschreibt die Fachdidaktik seit den 1970er-Jahren, früh zum Beispiel Henry O. Pollak (1979). Verbreitet ist die Darstellung von Werner Blum und Dominik Leiß, die den Kreislauf in sieben feinere Schritte teilt: Verstehen, Vereinfachen und Strukturieren, Mathematisieren, mathematisch Arbeiten, Interpretieren, Validieren und Darlegen.

Annahmen treffen

In echten Aufgaben fehlt immer etwas: Wie groß ist der Raum? Wie viele Personen kommen? Du legst dann Annahmen fest. Das ist kein Raten, sondern Teil der Methode, wenn du dich an vier Regeln hältst.

1. Aufschreiben: Jede Annahme steht schriftlich da, damit andere sie prüfen und ändern können.
2. Plausibel wählen: Nutze Werte, die du kennst oder messen kannst (Schrittlänge etwa 0,6 m, Tür etwa 2 m hoch).
3. Mit Spanne rechnen: Rechne mit einem kleinen und einem großen vernünftigen Wert, wenn du unsicher bist.
4. Wichtiges erkennen: Ändere eine Annahme und schau, wie stark sich das Ergebnis ändert.

Im Farbbeispiel: Wäre das Zimmer nur 7 m lang und 6 m breit, ergäbe sich 2 · (7 + 6) · 3 − 8 = 70 m² Wandfläche, also 2 · 70 : 8 = 17,5 Liter. Die Antwort liegt damit zwischen 17 und 21 Litern. Für den Einkauf ändert sich wenig: Es bleiben drei Eimer.

Fermi-Aufgaben: Schätzen mit System

Eine Fermi-Aufgabe ist eine Frage, die du ohne Nachschlagen nur grob beantworten kannst, indem du sie in kleine, schätzbare Teilfragen zerlegst. Gesucht ist die Größenordnung, nicht die letzte Stelle. Der Name geht auf den Physiker Enrico Fermi (1901–1954) zurück. Von ihm wird erzählt, dass er beim ersten Atombombentest am 16. Juli 1945 Papierschnipsel in die Luft warf und aus ihrer Verschiebung durch die Druckwelle die Sprengkraft auf etwa 10 Kilotonnen TNT schätzte. Nach heutigen Angaben waren es rund 20. Auch die Frage nach den Klavierstimmern in Chicago, die in vielen Büchern steht, wird ihm als Lehrbeispiel zugeschrieben.

Das Schöne an Fermi-Aufgaben: Kleine Fehler gleichen sich oft aus. Mal schätzt du zu hoch, mal zu niedrig, und das Ergebnis liegt meist im richtigen Bereich. Viele Aufgaben zum Üben findest du im Arbeitsblatt Fermi-Aufgaben.

Ergebnis prüfen und deuten

Ein Ergebnis ist erst dann eine Antwort, wenn du es mit der Situation verbunden hast. Frage dich:

1. Hat das Ergebnis eine Einheit, und ist die Größenordnung vernünftig?
2. Beantwortet es wirklich die Frage?
3. Wie musst du runden? Beim Einkauf rundest du auf (Eimer, Pizzen, Busse), bei einer Höchstgrenze meist ab.
4. Wo versagt das Modell? Welche Annahmen sind schwach?
5. Schreibe einen Antwortsatz.

Beispiele von der Grundschule bis zum Abitur

Die Bildungsstandards beschreiben ein Spektrum, das von Standardmodellen wie der proportionalen Zuordnung bis zu komplexeren Modellen wie Exponentialfunktion, Sinusfunktion und Zufallsexperimenten reicht. Die Tabelle zeigt, welche Modelle in welcher Stufe typisch sind.

Auch ein einfaches Modell kann an seine Grenzen stoßen. Ein Baum, der heute 2 m hoch ist und 40 cm im Jahr wächst, wäre nach dem linearen Modell in 50 Jahren 2 m + 50 · 0,4 m = 22 m hoch. Das klingt nur bei manchen Baumarten vernünftig, und kein Baum wächst unbegrenzt gleich schnell. Ein Modell mit einer Wachstumsgrenze passt besser, wie es der Abschnitt beschränktes Wachstum zeigt.

Übungen

Geschichte: Modelle gab es lange vor dem Wort

Schon Eratosthenes modellierte die Erde als Kugel. Johannes Kepler berechnete 1615 in seiner Fassmessung das Volumen von Weinfässern, indem er ihre Form durch Körper annäherte, die er rechnen konnte. Im Jahr 1654 beschrieben Blaise Pascal und Pierre de Fermat in Briefen ein Modell, um den Einsatz eines abgebrochenen Spiels gerecht aufzuteilen. Das war eine Wurzel der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Und Pierre-François Verhulst schlug 1838 ein Wachstumsmodell vor, das Grenzen berücksichtigt. Heute modellieren Fachleute das Wetter, den Verkehr oder die Ausbreitung von Krankheiten.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik, Erster und Mittlerer Schulabschluss (i. d. F. vom 23.06.2022), Abschnitt „Mathematisch modellieren“
• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Kompetenz „Mathematisch modellieren“ (K3)
• Werner Blum, Dominik Leiß: Modellieren im Unterricht mit der „Tanken“-Aufgabe. In: Mathematik lehren, Heft 128 (2005), S. 18–21.
• Henry O. Pollak: The interaction between mathematics and other school subjects. In: New Trends in Mathematics Teaching IV, UNESCO, Paris 1979, S. 232–248.
• Lawrence Weinstein, John A. Adam: Guesstimation. Solving the World’s Problems on the Back of a Cocktail Napkin, Princeton University Press, Princeton 2008.