Abbildungen mit Matrizen

Eine Matrix bildet jeden Punkt der Ebene auf einen neuen Punkt ab, sie ist die Vorschrift der Abbildung. Die Tabelle bei den Drehungen zeigt die wichtigsten Beispiele. Hier lernst du, eine solche Matrix selbst aufzustellen, zwei Abbildungen hintereinander auszuführen, eine Abbildung rückgängig zu machen und zu fragen, wie sich Flächen verändern.

Die Matrix aus zwei Bildern. Multiplizierst du eine Matrix mit dem Vektor (1 | 0), erhältst du ihre erste Spalte, mit (0 | 1) die zweite Spalte. Wenn du also weißt, wohin die beiden Einheitsvektoren abgebildet werden, kennst du die Matrix: Die Bilder stehen als Spalten nebeneinander.

Zwei Abbildungen hintereinander. Wird erst die Abbildung mit der Matrix A und dann die mit der Matrix B ausgeführt, gehört zur ganzen Abbildung das Produkt B · A, denn B wirkt auf das, was A schon berechnet hat: $B·(A·\overrightarrow{x})$. Die Reihenfolge ist also von rechts nach links zu lesen, und sie ist wichtig, denn Matrizen sind nicht vertauschbar.

Die Abbildung rückgängig machen. Die Umkehrabbildung gehört zur inversen Matrix $A^{-1}$, siehe die inverse Matrix. Die Scherung $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ verschiebt jeden Punkt in x-Richtung um das Doppelte seiner y-Koordinate. Ihre Umkehrung verschiebt zurück, $\left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{-2}\\ 0& 1\end{array}\right)$. Ist die Determinante 0, gibt es keine Umkehrung: Die Abbildung drückt die ganze Ebene auf eine Gerade (oder einen Punkt) zusammen, und aus dem Bild lässt sich der Ausgangspunkt nicht mehr bestimmen.

Der Flächenfaktor. Der Betrag der Determinante sagt, mit welchem Faktor sich Flächeninhalte ändern. Das Einheitsquadrat hat die Fläche 1, sein Bild unter A ist das Parallelogramm, das die beiden Spaltenvektoren aufspannen, und es hat die Fläche |det A|. Für die Streckung mit dem Faktor 3 ist $\text{det}\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=9$, die Fläche wird neunmal so groß. Die Scherung hat die Determinante 1 und erhält die Fläche. Die Spiegelung hat die Determinante −1: Die Fläche bleibt gleich, aber die Orientierung kehrt sich um.

Fixpunkte. Ein Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird, heißt Fixpunkt. Du suchst ihn aus $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}$, also aus dem Gleichungssystem $(A-E)\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$. Der Ursprung ist immer ein Fixpunkt. Bei der Scherung $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ gilt $\left(\begin{array}{c}x+2y\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$, also y = 0: Alle Punkte der x-Achse sind Fixpunkte, die x-Achse ist eine Fixpunktgerade. Bei der Spiegelung an y = x ist es die Gerade y = x selbst. Geraden, die als Ganzes auf sich abgebildet werden, ohne dass jeder Punkt fest bleibt, findest du mit Eigenvektoren.