Produktions­prozesse und Materialverflechtung

In einem Betrieb werden aus Rohstoffen zuerst Zwischenprodukte und daraus Endprodukte gefertigt. Jede Stufe lässt sich durch eine Matrix beschreiben, der ganze Prozess durch das Produkt der Matrizen. Das ist die Materialverflechtung, eine Standardaufgabe im Abitur.

Statt zweimal zu rechnen, bildest du einmal das Produkt, die Gesamtbedarfsmatrix: $A·B=\left(\begin{array}{cc}5& 5\\ 10& 5\\ 6& 2\end{array}\right)$. Sie sagt direkt, wie viele Rohstoffe ein Endprodukt braucht: Eine Einheit E₁ verbraucht 5, 10 und 6 Einheiten der drei Rohstoffe. Mit $AB\overrightarrow{e}$ erhältst du wieder (150 | 250 | 140). Die Reihenfolge ist wichtig: Es muss A · B heißen, denn das Produkt B · A ist hier gar nicht definiert (2 × 2 mal 3 × 2).

Kosten. Kosten die Rohstoffe 3 €, 2 € und 4 € je Einheit, fasst du die Preise als Zeilenvektor zusammen und multiplizierst: $(324)·\left(\begin{array}{c}150\\ 250\\ 140\end{array}\right)=3·150+2·250+4·140=1.510$. Die Bestellung kostet 1.510 € an Rohstoffen. Das Produkt der Preise mit der Gesamtbedarfsmatrix gibt die Rohstoffkosten je Endprodukt: $(324)·\left(\begin{array}{cc}5& 5\\ 10& 5\\ 6& 2\end{array}\right)=(5933)$. Ein E₁ kostet 59 €, ein E₂ kostet 33 €, und 20 · 59 + 10 · 33 = 1.510 € passt.

Rückwärts rechnen. Oft ist der Rohstoffvorrat gegeben und die Produktion gesucht. Dann musst du ein Gleichungssystem lösen, zum Beispiel mit dem Gauß-Verfahren. Für R₁ und R₂ sind je 100 Einheiten da und sollen ganz verbraucht werden: 5e₁ + 5e₂ = 100 und 10e₁ + 5e₂ = 100. Subtrahierst du die erste Gleichung von der zweiten, bleibt 5e₁ = 0, also e₁ = 0 und e₂ = 20. Dabei werden 6 · 0 + 2 · 20 = 40 Einheiten von R₃ gebraucht.

Eigenverbrauch (Leontief-Modell). Verbrauchen die Betriebe einen Teil ihrer eigenen Produktion, etwa ein Kraftwerk Strom, gilt für die Produktion x und die Nachfrage y von außen $\overrightarrow{x}-M\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}$, also $(E-M)\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}$, wobei die Matrix M den Eigenverbrauch angibt. Mit $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,1}\end{array}\right)$ und der Nachfrage $\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}20\\ 140\end{array}\right)$ ist $E-M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,8}& \mathrm{-0,3}\\ \mathrm{-0,4}& \mathrm{0,9}\end{array}\right)$ mit der Determinante 0,72 − 0,12 = 0,6. Die Inverse liefert $\overrightarrow{x}=\frac{1}{\mathrm{0,6}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,4}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}20\\ 140\end{array}\right)=\frac{1}{\mathrm{0,6}}\left(\begin{array}{c}60\\ 120\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 200\end{array}\right)$. Die Betriebe müssen 100 und 200 Einheiten herstellen, damit nach dem Eigenverbrauch genau 20 und 140 Einheiten übrig bleiben. Zur Probe: $M\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}80\\ 60\end{array}\right)$, und 100 − 80 = 20, 200 − 60 = 140.

Immer neue Aufgaben zu Abbildungen, Inversen und Produktionsprozessen findest du bei Matrizen: Abbildungen und Verflechtung üben. Übergangsprozesse mit Matrizen, bei denen sich die Anteile von Schritt zu Schritt ändern, behandelt Übergangsmatrizen.