Dichte, Gleich-, Exponential- und Poisson-Verteilung: Aufgaben mit Lösungen

Bei stetigen Zufallsgrößen sind Wahrscheinlichkeiten Flächen unter der Dichte. Wähle oben eine Aufgabenart oder lass sie gemischt. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt. Diskrete Zufallsgrößen übst du auf dem Blatt Zufallsgrößen.

Das brauchst du

• Normierung: Das Integral der Dichte über den ganzen Bereich muss 1 sein. Daraus bestimmst du die Konstante c.
• Wahrscheinlichkeit: P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a) mit der Verteilungsfunktion F. Für f(x) = (n+1) xⁿ / bⁿ⁺¹ ist F(x) = (x/b)ⁿ⁺¹.
• Erwartungswert und Varianz: E(X) = ∫ x f(x) dx und Var(X) = E(X²) − E(X)².
• Gleichverteilung auf [a, b]: E = (a + b)/2, Var = (b − a)²/12, P(c ≤ X ≤ d) = (d − c)/(b − a).
• Exponentialverteilung: P(X ≤ t) = 1 − e^−λt, E = 1/λ, Median = ln 2 / λ. Gedächtnislos: P(X > s + t | X > s) = P(X > t).
• Poisson-Verteilung: P(X = k) = λ^k/k! · e^−λ.

Alles steht auf der Seite Stetige Verteilungen bei Dichte, Verteilungsfunktion, Gleichverteilung, Exponentialverteilung und Poisson-Verteilung.