Vierecke und Flächeninhalt

Ein Viereck hat vier Ecken, vier Seiten und vier Winkel. Du siehst Vierecke überall: als Blatt Papier, Fensterscheibe, Fußballfeld, Dachfläche und Spielbrett. Wenn du die Farbe für eine Wand, den Rasen für einen Garten oder den Bodenbelag für ein Zimmer kaufst, musst du den Flächeninhalt eines Vierecks berechnen.

Hier lernst du, welche Vierecke es gibt und wie sie zusammenhängen. Dann leitest du die Formeln für Umfang und Fläche her, rechnest mit zusammengesetzten Flächen und wechselst zwischen den Flächeneinheiten. Eine knappe Übersicht steht in den Abschnitten Vierecke und Flächen und Volumen der Seite Geometrie. Zum Üben dient das Arbeitsblatt Flächeninhalt und Umfang.

Was ist ein Viereck?

Die Ecken eines Vierecks heißen A, B, C und D, gegen den Uhrzeigersinn. Die Strecken zwischen gegenüberliegenden Ecken heißen Diagonalen. Sie heißen meist e (von A nach C) und f (von B nach D).

Zeichne eine Diagonale, dann zerfällt das Viereck in zwei Dreiecke. Jedes hat die Winkelsumme 180°, zusammen sind es also 2 · 180° = 360°. Das gilt für jedes Viereck. Mehr dazu steht bei den Winkelsummen.

Das Haus der Vierecke

Manche Vierecke sind Sonderfälle von anderen. Das Quadrat zum Beispiel ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Ein Diagramm, das diese Verwandtschaften zeigt, heißt Haus der Vierecke.

Alles, was für ein Viereck weiter oben gilt, gilt auch für alle darunter, die von ihm abstammen. Ein Quadrat hat deshalb alle Eigenschaften von Rechteck, Raute, Parallelogramm und Trapez. Die Tabellen zeigen die wichtigsten Eigenschaften.

Was Symmetrieachsen sind und wie man sie findet, steht auf der Seite Symmetrie und Abbildungen. Ein Trapez ohne weitere Besonderheit hat keine Symmetrie. Bei der Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, sie sind aber meistens verschieden lang.

Umfang und Flächeninhalt

Der Umfang ist die Länge der Randlinie, also die Summe aller Seiten. Der Flächeninhalt sagt, wie viele Einheitsquadrate in das Viereck passen, zum Beispiel Quadrate mit 1 cm Seitenlänge. Ein solches Quadrat hat den Flächeninhalt 1 cm².

Rechteck und Quadrat

Ein Rechteck mit den Seiten 5 cm und 3 cm lässt sich mit Einheitsquadraten auslegen: 3 Reihen mit je 5 Quadraten, zusammen 15. Deshalb gilt:

Parallelogramm

Ein Parallelogramm lässt sich in ein Rechteck verwandeln. Du schneidest links ein Dreieck ab, dessen Seite senkrecht auf der Grundseite steht, und setzt es rechts wieder an. Das Rechteck hat dieselbe Grundseite g und dieselbe Höhe h.

Dreieck und Trapez

Zerschneidest du ein Parallelogramm entlang einer Diagonalen, erhältst du zwei gleiche Dreiecke. Ihre Fläche ist deshalb g · h : 2. Mehr dazu steht auf der Seite Dreiecke.

Beim Trapez setzt du ein zweites, gleiches Trapez um 180° gedreht an einen Schenkel an. So entsteht ein Parallelogramm mit der Grundseite a + c und der Höhe h. Das Trapez ist die Hälfte davon.

Raute und Drachen

Bei Raute und Drachen stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander. Zeichnest du um das Viereck ein Rechteck, das so lang ist wie die eine und so hoch wie die andere Diagonale, nimmt das Viereck genau die Hälfte des Rechtecks ein.

Ein allgemeines Viereck zerlegst du mit einer Diagonalen in zwei Dreiecke und addierst ihre Flächen. Den Kreis, der sich nicht aus Vierecken zusammensetzen lässt, behandelt die Seite Kreis.

Zusammengesetzte Flächen

Viele Flächen im Alltag sind keine einfachen Vierecke. Dann zerlegst du sie in Rechtecke, Dreiecke und Trapeze, oder du ergänzt sie zu einem großen Rechteck und ziehst die fehlenden Stücke ab.

Flächeneinheiten

Flächen misst du in Quadrateinheiten. Weil ein Quadrat zwei Längen hat, ändert sich beim Umrechnen der Faktor zum Quadrat: 1 m = 100 cm, also ist 1 m² = 100 · 100 = 10.000 cm².

Mehr zum Umrechnen steht im Abschnitt Flächen der Seite Größen und Einheiten. Mit dem Flächenrechner kannst du deine Ergebnisse prüfen.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: Felder messen

Das Wort Geometrie bedeutet „Erdmessung“. Schon im alten Ägypten mussten Schreiber Felder vermessen und die Ernte berechnen. Nach den erhaltenen Rechenaufgaben berechnete man Rechtecke als Länge mal Breite, Dreiecke als halbe Grundseite mal Höhe und Trapeze mit dem Mittelwert der parallelen Seiten. Das steht auf der Seite Ägyptische Mathematik.

Die Griechen suchten Begründungen für solche Regeln. In den Elementen des Euklid steht in Buch 1 der Satz 35: Parallelogramme mit derselben Grundseite zwischen denselben Parallelen haben denselben Flächeninhalt. Das ist genau die Idee des Umbauens von oben, ohne Formel und ohne Zahlen.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Thomas L. Heath (Hrsg.): The Thirteen Books of Euclid’s Elements, 3 Bände, 2. Auflage, Cambridge University Press, Cambridge 1926.
• Wikipedia: Viereck
• Wikipedia: Trapez (Geometrie)
• Wikipedia: Raute