Ungleichungs­rechner: Ungleichungen lösen mit Rechenweg

So benutzt du den Ungleichungsrechner

Tippe die Ungleichung mit einem der Zeichen <, >, ≤ oder ≥ ein. Statt ≤ und ≥ kannst du auch <= und >= schreiben. Für Doppelungleichungen verwendest du zwei Zeichen, etwa 1 < 2x + 3 <= 9. Der Rechner zeigt die Lösungsmenge in Intervallschreibweise, als Text wie „x < −3“ und auf dem Zahlenstrahl.

Die wichtigste Regel: Zeichen umdrehen

Ungleichungen formst du fast wie Gleichungen um. Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren und mit derselben positiven Zahl multiplizieren oder durch sie teilen. Nur bei negativen Zahlen musst du aufpassen: Multiplizierst oder dividierst du mit einer negativen Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Warum dreht sich das Zeichen? Aus 2 < 3 wird nach Multiplikation mit −1 die Aussage −2 > −3. Auf dem Zahlenstrahl spiegelt das Minus alles an der Null, und die Reihenfolge kehrt sich um.

Lösungsmengen und Intervalle

Eine Ungleichung hat meist unendlich viele Lösungen. Man schreibt sie als Intervall. Eine eckige Klammer, die zur Zahl zeigt, bedeutet „gehört dazu“, eine nach außen gedrehte Klammer bedeutet „gehört nicht dazu“:

• [−1; 4] ist die Menge aller x mit −1 ≤ x ≤ 4.
• ]−1; 3] bedeutet −1 < x ≤ 3.
• ]−∞; −3[ bedeutet x < −3. Bei Unendlich steht immer eine offene Klammer.

Auf dem Zahlenstrahl gehört ein gefüllter Punkt zur Lösung, ein leerer nicht.

Quadratische Ungleichungen und Bruchungleichungen

Bei x² − 4 ≥ 0 bestimmt der Rechner zuerst die Nullstellen −2 und 2. Die Parabel ist nach oben geöffnet, also liegt sie links von −2 und rechts von 2 oberhalb der x-Achse. Die Lösung ist ]−∞; −2] ∪ [2; +∞[.

Bei Brüchen wie (x + 1)/(x − 2) ≥ 0 darf man nicht einfach mit dem Nenner multiplizieren, weil man nicht weiß, ob er positiv oder negativ ist. Stattdessen sucht man alle Stellen, an denen Zähler oder Nenner null werden, hier −1 und 2. Dazwischen hat der Bruch ein festes Vorzeichen, das man mit einem Testwert prüft. Die Polstelle 2 gehört nie zur Lösung. Ergebnis: ]−∞; −1] ∪ ]2; +∞[.

Aus der Geschichte: die Zeichen < und >

Ungleichungen sind viel älter als ihre Zeichen. Schon Archimedes schloss den Wert von π zwischen zwei Brüchen ein, 3 10/71 < π < 3 1/7, ohne dafür Symbole zu benutzen. Die Zeichen < und > erschienen erstmals 1631 in einem Buch des Engländers Thomas Harriot, das erst nach seinem Tod gedruckt wurde. Die Zeichen ≤ und ≥ setzten sich im 18. Jahrhundert durch. Mehr dazu im Kapitel Ungleichungen und bei Archimedes.

Häufige Fragen