Partielle Ableitungen, Gradient und Extrema: Aufgaben mit Lösungen

Hier rechnest du mit Funktionen f(x, y). Wähle oben eine Aufgabenart oder lass sie gemischt. Mit „Neue Aufgaben“ entsteht ein neues Blatt. Die Ableitung von Funktionen mit einer Variablen übst du auf dem Blatt zu den Extrempunkten.

Das brauchst du

• Partielle Ableitung: Nach einer Variablen ableiten, die andere wie eine Konstante behandeln. Danach den Punkt einsetzen.
• Gradient: ∇f = (f_x, f_y). Er zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs, seine Länge ist die größte Steigung.
• Richtungsableitung: Skalarprodukt ∇f · v mit einem Einheitsvektor v. Ist v nicht normiert, zuerst durch die Länge teilen.
• Tangentialebene: f(x₀ + h, y₀ + k) ≈ f(x₀, y₀) + f_x · h + f_y · k.
• Kritischer Punkt: ∇f = 0. Mit D = f_xx f_yy − f_xy² gilt: D > 0 und f_xx > 0 Minimum, D > 0 und f_xx < 0 Maximum, D < 0 Sattelpunkt.

Die Erklärungen stehen auf der Seite Mehrdimensionale Analysis bei den partiellen Ableitungen, dem Gradienten, der Linearisierung und den lokalen Extrema.