Rechner · Oberstufe und Studium
Newton-Verfahren-Rechner: Nullstellen näherungsweise berechnen
Der Rechner bestimmt Nullstellen beliebiger Funktionen mit dem Newton-Verfahren. Die Ableitung bildet er selbst, jeder Schritt steht in einer Tabelle, die Tangenten sind im Diagramm eingezeichnet, und zum Vergleich läuft die Intervallhalbierung mit.
So benutzt du den Rechner
Gib die Funktion f(x) und einen Startwert x₀ in der Nähe der gesuchten Nullstelle ein. Der Rechner bildet die Ableitung, führt die Schritte aus, bis sich der Wert nicht mehr ändert, und zeigt alle Zwischenwerte. Im Bereich „Erweitert“ gibst du ein Intervall an, in dem die Funktion das Vorzeichen wechselt. Dort läuft zum Vergleich die Intervallhalbierung.
Die Idee: Tangenten statt Kurven
Die Nullstelle einer Kurve ist schwer zu finden, die einer Geraden leicht. Das Newton-Verfahren legt deshalb an der Stelle xₙ die Tangente an den Graphen und nimmt deren Nullstelle als nächsten Näherungswert:
Liegt der Startwert nahe genug an der Nullstelle, verdoppelt sich die Zahl der richtigen Stellen ungefähr mit jedem Schritt.
Newtons eigenes Beispiel
Isaac Newton erklärte sein Verfahren an der Gleichung x³ − 2x − 5 = 0. Mit dem Startwert 2 liefert der Rechner nacheinander 2,1, dann 2,0945681, dann 2,0945514817 und nach fünf Schritten 2,094551481542, das sich nicht mehr ändert. Die Intervallhalbierung zwischen 2 und 3 braucht für dieselbe Genauigkeit 39 Schritte. Für √2, also die Nullstelle von x² − 2, ergibt sich mit dem Startwert 1 die Folge 1,5; 1,41667; 1,4142157; 1,41421356237. Das ist genau das Verfahren, mit dem schon Heron von Alexandria Wurzeln berechnete.
Wann das Verfahren scheitert
Ist die Tangente fast waagerecht, schießt der nächste Wert weit weg. Ist die Ableitung null, bricht das Verfahren ab. Manchmal springen die Werte auch hin und her, ohne sich zu nähern. Der Rechner meldet solche Fälle. Dann hilft ein anderer Startwert, den man am besten aus einer Skizze im Funktionsplotter abliest.
Die Lernseite Newton-Verfahren erklärt die Herleitung und die Konvergenz, das Arbeitsblatt Newton-Verfahren bietet Übungen. Ableitungen mit Rechenweg bildet der Ableitungsrechner.
Häufige Fragen
Welchen Startwert soll ich nehmen?
Einen Wert in der Nähe der Nullstelle, am besten aus einer Skizze oder einer Wertetabelle. Hat die Funktion mehrere Nullstellen, findet das Verfahren meist die, die dem Startwert am nächsten liegt.
Warum ist das Newton-Verfahren so schnell?
Weil sich die Tangente nahe der Nullstelle sehr eng an die Kurve schmiegt. Der Fehler wird in jedem Schritt ungefähr quadriert: aus 0,01 wird 0,0001, daraus 0,00000001.
Was ist die Intervallhalbierung?
Man halbiert ein Intervall, in dem die Funktion das Vorzeichen wechselt, und behält die Hälfte mit dem Vorzeichenwechsel. Das klappt immer, ist aber langsam: Jeder Schritt bringt nur etwa ein Drittel einer Dezimalstelle.
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