Kakeya, ETH und Yang-Mills: die neuen KI-Beweise

Das KI-Unternehmen OpenAI hat am 26. Oktober 2026 drei neue Ergebnisse seiner internen Modelle vorgestellt. Nach Angaben der Firma beweisen sie die Kakeya-Vermutung in allen Dimensionen, widerlegen die Exponential Time Hypothesis (ETH), eine Grundannahme der theoretischen Informatik, und zeigen, dass die Yang-Mills-Theorie der Teilchenphysik mathematisch sauber existiert. Das letzte Ergebnis berührt eines der sieben Millennium-Probleme, löst es aber nicht vollständig.

Alle drei Behauptungen stammen vom Unternehmen selbst und sind noch nicht von Fachleuten bestätigt. Neu ist, wie OpenAI sie veröffentlicht: Bekannte Forscherinnen und Forscher sollen die Prüfung organisieren, ohne Bezahlung und ohne Schweigepflicht. Bemerkenswert ist außerdem, dass das Unternehmen Anthropic am selben Tag ein eigenes KI-Ergebnis zur ETH veröffentlichte.

Die Kakeya-Vermutung: eine Nadel in alle Richtungen drehen

Die Geschichte beginnt 1917 in Japan. Der Mathematiker Sōichi Kakeya fragte: Wie klein darf eine Fläche sein, in der man eine Nadel der Länge 1 einmal ganz herumdrehen kann, so dass sie in jede Richtung gezeigt hat? In einem Kreis mit dem Durchmesser 1 geht es, er hat die Fläche π/4 ≈ 0,785. Eine Figur mit drei nach innen gewölbten Seiten, die Deltoide, kommt mit der Hälfte dieser Fläche aus.

Die Überraschung kam 1928: Der russische Mathematiker Abram Besikowitsch zeigte, dass die Fläche beliebig klein sein darf. Man kann Mengen bauen, die in jede Richtung eine Strecke der Länge 1 enthalten und trotzdem den Flächeninhalt null haben. Solche Mengen heißen Kakeya-Mengen. Die moderne Kakeya-Vermutung sagt, dass sie trotzdem nicht „dünn“ sein können: Im n-dimensionalen Raum hat jede Kakeya-Menge die volle Dimension n. Gemeint ist die sogenannte Hausdorff-Dimension, ein Maß dafür, wie sehr eine Menge den Raum ausfüllt. Eine Linie hat die Dimension 1, eine Fläche 2, und bei gezackten Gebilden wie Fraktalen kommen auch Bruchzahlen heraus.

In der Ebene bewies Roy Davies die Vermutung schon 1971. Für den dreidimensionalen Raum gelang es erst 2025 Hong Wang und Joshua Zahl, wofür Wang im Sommer 2026 die Fields-Medaille erhielt. Für vier und mehr Dimensionen war die Frage offen.

Was OpenAI beweist: Wellen glätten sich im Mittel

OpenAI greift die Kakeya-Vermutung nicht direkt an, sondern über eine stärkere Aussage aus der Theorie der Wellen. Die Local-Smoothing-Vermutung, 1991 von Christopher Sogge aufgestellt, handelt davon, wie stark sich eine Welle an einer Stelle bündeln kann. Ein Bild dafür ist ein Brennglas: Für einen Augenblick kann sich Energie auf einen Punkt zusammenziehen. Die Vermutung sagt, dass solche extremen Bündelungen nur kurz dauern. Mittelt man über ein Zeitintervall, ist die Welle immer viel glatter als im schlimmsten Augenblick.

Seit den 1990er Jahren weiß man, dass diese Aussage die Kakeya-Vermutung und Elias Steins Restriktionsvermutung nach sich zieht. Die Restriktionsvermutung gehört zur Fourier-Analyse, dem Zerlegen von Funktionen in Schwingungen, die auf Joseph Fourier zurückgeht (Grundlagen auf der Lernseite Fourierreihen). Larry Guth, Hong Wang und Ruixiang Zhang bewiesen die Local-Smoothing-Vermutung 2019 für zwei Raumdimensionen.

Nach Angabe von OpenAI erzeugte das Modell den Beweis für alle Dimensionen am 18. Oktober 2026, am Tag darauf war er in Lean formalisiert. Lean ist ein Programm, das jeden Schritt eines Beweises mechanisch nachprüft. Laut der Beschreibung im Repository umfasst die Formalisierung auch die Aussage, dass jede Kakeya-Menge im n-dimensionalen Raum die Hausdorff-Dimension n hat. Der Beweis stützt sich laut OpenAI auf eine neuartige Hilfsgleichung aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Eine Arbeitsgruppe gibt es für dieses Ergebnis nicht: Auf Rat eines Fachmanns hat OpenAI das Manuskript einfach veröffentlicht, wie schon am 6. Oktober.

Die Exponential Time Hypothesis: schneller als gedacht

Beim Erfüllbarkeitsproblem 3-SAT bekommt man eine aussagenlogische Formel aus vielen kleinen Bedingungen mit je drei Variablen, etwa „a oder nicht b oder c“. Gesucht ist eine Belegung mit wahr und falsch, die alle Bedingungen erfüllt (wie solche Formeln aufgebaut sind, zeigt der Abschnitt Normalformen). Stephen Cook bewies 1971, dass dieses Problem NP-vollständig ist: Wer es schnell lösen kann, kann alle Probleme der Klasse NP schnell lösen.

Wer alle Belegungen durchprobiert, braucht bei n Variablen bis zu 2ⁿ Versuche, bei 100 Variablen also rund 1,27 · 10³⁰. Bessere Verfahren drücken die Basis unter 2, bleiben aber exponentiell. Russell Impagliazzo und Ramamohan Paturi formulierten 1999 die Exponential Time Hypothesis: Es gibt eine feste Zahl δ größer als null, so dass jedes Verfahren für 3-SAT im schlimmsten Fall mindestens etwa 2^δn Schritte braucht. Zusammen mit Francis Zane bauten sie daraus ein Werkzeug, mit dem Hunderte Arbeiten die Schwierigkeit anderer Probleme begründen, von Graphen über Datenbanken bis zur Bioinformatik.

OpenAI gibt an, das Modell habe die Widerlegung am 16. Oktober gefunden, am 17. Oktober sei sie in Lean formalisiert worden. Das Unternehmen Anthropic veröffentlichte am 26. und 27. Oktober eine eigene Arbeit mit dem Titel „A 2^o(n) Time Algorithm for 3-SAT“. Als Autor ist ein internes Forschungsmodell von Claude genannt, auch hier mit vollständigem Lean-Beweis. Anthropic schreibt selbst, das Ergebnis sei rein asymptotisch und sage nichts über das Lösen von Formeln in der Praxis. Dass zwei Firmen fast gleichzeitig dieselbe Schranke melden, ist bisher nicht erklärt.

Die Prüfung leiten ausgerechnet zwei der Urheber der ETH, Impagliazzo und Paturi von der University of California in San Diego, zusammen mit Ryan Williams vom MIT. In einem offenen Brief an die Fachwelt schreiben sie, ihre Mitwirkung sei keine Bestätigung. Ein Ergebnis dieser Tragweite verlange sorgfältige, unabhängige Prüfung. Sollte es stimmen, verändere es einen wichtigen Teil der theoretischen Informatik. Sie fordern alle Rohdaten an und wollen bis Ende 2026 ein offenes Treffen organisieren.

Yang-Mills: Existenz ja, Massenlücke offen

Die dritte Behauptung betrifft die Physik. Chen Ning Yang und Robert Mills stellten 1954 die Gleichungen für die Felder auf, die heute die starke und die schwache Kernkraft beschreiben. Die Quantenchromodynamik (QCD) erklärt damit, wie Quarks und Gluonen die Bausteine der Atomkerne bilden. 1973 entdeckten David Gross, Frank Wilczek und David Politzer die asymptotische Freiheit: Auf kurzen Abständen wird die Kraft schwach. Dafür erhielten sie 2004 den Nobelpreis.

Physikerinnen und Physiker rechnen mit diesen Theorien äußerst erfolgreich. Mathematisch war aber unbewiesen, dass es sie in vier Raumzeit-Dimensionen als widerspruchsfreie Objekte überhaupt gibt. Das Clay-Institut nahm im Jahr 2000 eine Frage dazu in seine Liste der Millennium-Probleme auf, formuliert von Arthur Jaffe und Edward Witten. Verlangt sind zwei Dinge: die Existenz der reinen Yang-Mills-Theorie und eine Massenlücke, also dass ihre leichtesten Teilchen eine Masse größer als null haben.

OpenAI meldet einen Existenzbeweis für QCD, für eine vereinheitlichte Erweiterung des Standardmodells und als Teilschritt für die reine Yang-Mills-Theorie. Er baut auf Arbeiten von Tadeusz Bałaban aus den 1980er Jahren auf. Die Massenlücke beansprucht das Unternehmen ausdrücklich nicht. Die Unterlagen sind nicht öffentlich: Eine Gruppe um David Gross mit Michael Douglas, Arthur Jaffe, Igor Klebanov und Nikita Nekrasov will die Arbeit zuerst selbst aufschreiben. Prüfen kann die Behauptung von außen deshalb vorerst niemand.

Einordnung: Wer bekommt die Ehre?

OpenAI schreibt, es beanspruche für die Entdeckungen seiner Modelle keine wissenschaftliche Anerkennung. Die Arbeitsgruppen sollen für das Verständnis und die Darstellung gewürdigt werden, die sie erarbeiten. Dazu kommen nach Angaben der Firma fünf Millionen US-Dollar für die Simons-Stiftung, die damit Tagungen über KI-Ergebnisse fördern soll. Impagliazzo, Paturi und Williams sehen trotzdem offene Fragen: Wer früh Zugang zu solchen Ergebnissen hat, gewinnt einen Vorsprung, und die mühsame Arbeit des Prüfens und Erklärens könnte zu wenig Anerkennung bekommen.

Dass ein Beweis erst geprüft werden muss, bevor er gilt, ist in der Mathematik nicht neu. Grigori Perelmans Beweis der Poincaré-Vermutung stand 2002 und 2003 im Internet, anerkannt wurde er nach mehreren Jahren Prüfung. Neu ist das Tempo: Innerhalb von acht Wochen meldete OpenAI Ergebnisse zu Navier-Stokes, zur Quasi-Riemann-Vermutung und jetzt zu Kakeya, ETH und Yang-Mills. Den Überblick über die bisherigen Meldungen gibt der Beitrag KI löst offene Matheprobleme.

1. 1917 Sōichi Kakeya fragt nach der kleinsten Fläche, in der sich eine Nadel umdrehen lässt.
2. 1928 Besikowitsch zeigt: Die Fläche kann beliebig klein sein.
3. 1954 Yang und Mills stellen ihre Feldgleichungen auf.
4. 1971 Cook beweist, dass SAT NP-vollständig ist. Davies beweist die Kakeya-Vermutung in der Ebene.
5. 1991 Sogge stellt die Local-Smoothing-Vermutung auf.
6. 1999 Impagliazzo und Paturi formulieren die Exponential Time Hypothesis.
7. 2000 Das Clay-Institut nimmt Yang-Mills und P gegen NP in die Millennium-Probleme auf.
8. 2025 Wang und Zahl beweisen die Kakeya-Vermutung im dreidimensionalen Raum.
9. 26. Oktober 2026 OpenAI meldet die drei neuen Ergebnisse, Anthropic eine eigene Widerlegung der ETH.

Weitere große Entwicklungen seit dem Jahr 2000 beschreibt die Epoche Mathematik im 21. Jahrhundert. Wie Informatiker überhaupt messen, was „schnell“ heißt, erklärt die Lernseite Komplexität und Berechenbarkeit, die auf Alan Turings Maschinenmodell aufbaut.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• OpenAI: Working with academic communities to build scientific understanding (englisch, 26. Oktober 2026)
• OpenAI: Local smoothing for the Euclidean wave equation und The Exponential Time Hypothesis is False, Manuskripte im Repository auf GitHub (englisch)
• Anthropic: A 2^o(n) Time Algorithm for 3-SAT, Arbeit und Lean-Beweis auf GitHub (englisch, 27. Oktober 2026)
• Russell Impagliazzo, Ramamohan Paturi, Ryan Williams: Message to the TCS Community on ETH (englisch, Oktober 2026)
• The Next Web: OpenAI says its AI model has disproved the Exponential Time Hypothesis (englisch, 26. Oktober 2026)
• Clay Mathematics Institute: Yang-Mills and the Mass Gap (englisch)
• Wikipedia: Exponential time hypothesis (englisch)