Kegelschnitt-Rechner: Ellipse, Hyperbel, Parabel und Kreis

So benutzt du den Rechner

Gib eine Gleichung mit x und y ein, etwa x^2/25 + y^2/9 = 1 oder x^2 + y^2 - 6x + 4y = 12. Alternativ wählst du eine Kurvenart und gibst die Halbachsen a und b oder den Parameter p der Parabel an. Der Rechner zeigt die Rechenschritte, alle Kenngrößen in einer Tabelle und die Zeichnung mit Brennpunkten.

Welche Kurve ist es?

Jeder Kegelschnitt lässt sich als A·x² + B·xy + C·y² + D·x + E·y + F = 0 schreiben. Über die Art entscheidet die Zahl B² − 4AC: Ist sie negativ, ist es eine Ellipse oder ein Kreis, ist sie positiv, eine Hyperbel, ist sie null, eine Parabel. Kommt ein Glied mit xy vor, ist die Kurve gedreht. Der Rechner bestimmt dann zusätzlich den Drehwinkel.

Drei Beispiele

• Ellipse x²/25 + y²/9 = 1: Halbachsen a = 5 und b = 3. Die Brennpunkte liegen im Abstand c = √(25 − 9) = 4 vom Mittelpunkt, also bei (±4 | 0). Die Exzentrizität ist c : a = 0,8, die Fläche π · 5 · 3 ≈ 47,12.
• Hyperbel x² − 4y² = 4: Durch 4 geteilt ergibt sich x²/4 − y²/1 = 1 mit a = 2 und b = 1. Die Scheitel liegen bei (±2 | 0), die Asymptoten sind y = ±0,5x, die Brennpunkte haben den Abstand √5 ≈ 2,24 vom Mittelpunkt.
• Kreis x² + y² − 6x + 4y = 12: Mit quadratischer Ergänzung wird daraus (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Das ist ein Kreis mit Mittelpunkt (3 | −2) und Radius 5.

Brennpunkte und Abstände

Ellipse und Hyperbel lassen sich ohne Gleichung beschreiben. Bei einer Ellipse ist für jeden Punkt die Summe der Abstände zu den beiden Brennpunkten gleich, nämlich 2a. Bei einer Hyperbel ist der Unterschied der Abstände gleich. Bei einer Parabel ist jeder Punkt gleich weit vom Brennpunkt und von einer Geraden, der Leitlinie, entfernt. Deshalb bündeln Parabolspiegel parallele Strahlen im Brennpunkt.

Die Lernseite Kegelschnitte erklärt alle vier Kurven ausführlich, Übungen gibt es auf dem Arbeitsblatt Kegelschnitte. Für Kreisumfang und Kreisfläche gibt es den Kreisrechner, Funktionsgraphen zeichnet der Funktionsplotter.

Häufige Fragen