Rechner · Klasse 6 bis 8
Dreisatzrechner: proportional und antiproportional
4 Hefte kosten 6,80 €, was kosten 7? 6 Arbeiter brauchen 12 Tage, wie lange brauchen 9? Der Dreisatzrechner löst beide Arten von Aufgaben und schreibt den Weg in drei Zeilen auf, mit deinen eigenen Einheiten.
So benutzt du den Dreisatzrechner
Trage ein, welche Menge welchem Wert entspricht, und dann die neue Menge. Die Felder für die Einheiten sind freiwillig, machen den Rechenweg aber lesbarer: „4 Hefte ≙ 6,80 €“. Wichtig ist die Wahl der Zuordnung.
- Proportional heißt „je mehr, desto mehr“: doppelt so viele Hefte kosten doppelt so viel.
- Antiproportional heißt „je mehr, desto weniger“: doppelt so viele Arbeiter brauchen nur halb so lange.
Die drei Sätze des Dreisatzes
Der Dreisatz heißt so, weil er aus drei Zeilen besteht: Gegeben, Schluss auf die Einheit, Schluss auf die gesuchte Menge.
| Schritt | proportional | antiproportional |
|---|---|---|
| 1. Gegeben | 4 Hefte ≙ 6,80 € | 6 Arbeiter ≙ 12 Tage |
| 2. Auf 1 schließen | 1 Heft ≙ 6,80 € : 4 = 1,70 € | 1 Arbeiter ≙ 12 · 6 = 72 Tage |
| 3. Auf die neue Menge | 7 Hefte ≙ 1,70 € · 7 = 11,90 € | 9 Arbeiter ≙ 72 : 9 = 8 Tage |
Beim proportionalen Dreisatz teilst du erst und multiplizierst dann. Beim antiproportionalen ist es genau umgekehrt. Das ist der häufigste Fehler beim Dreisatz: Wer bei einer antiproportionalen Aufgabe wie gewohnt teilt, erhält ein Ergebnis, das nicht stimmen kann. Mehr Beispiele und Übungen findest du im Kapitel Verhältnisse und Proportionalität.
Woran erkenne ich die Zuordnung?
Frage dich: Was passiert mit dem Wert, wenn sich die Menge verdoppelt? Wird er auch doppelt so groß, ist die Zuordnung proportional. Wird er halb so groß, ist sie antiproportional. Typisch proportional sind Preis und Menge, Weg und Zeit bei gleicher Geschwindigkeit, Rezeptzutaten und Personenzahl. Typisch antiproportional sind Arbeiter und Arbeitszeit, Geschwindigkeit und Fahrzeit, Anzahl der Personen und Anteil an einem festen Betrag.
Erweitert: der zusammengesetzte Dreisatz
Manchmal hängt ein Wert von zwei Größen ab. 6 Maschinen stellen in 5 Stunden 120 Teile her. Wie viele Teile stellen 9 Maschinen in 8 Stunden her? Du rechnest zwei Dreisätze hintereinander: Mit 9 statt 6 Maschinen entstehen in 5 Stunden 120 : 6 · 9 = 180 Teile. In 8 statt 5 Stunden sind es dann 180 : 5 · 8 = 288 Teile.
Im Bereich „Erweitert“ trägst du die zweite Größe vorher und nachher ein und wählst, ob sie proportional oder antiproportional wirkt. Der Rechner zeigt beide Schritte.
Häufige Fragen
Muss ich immer auf 1 schließen?
Nein. Oft geht es mit einer bequemeren Zwischengröße schneller. Von 4 Heften auf 8 Hefte verdoppelst du einfach. Der Schluss auf 1 funktioniert aber immer und ist deshalb der sichere Standardweg.
Was ist der Unterschied zwischen Dreisatz und Prozentrechnung?
Die Prozentrechnung ist ein Sonderfall des proportionalen Dreisatzes, bei dem die Menge in Prozent gemessen wird: 100 % ≙ Grundwert. Deshalb lässt sich jede Prozentaufgabe auch mit dem Dreisatz lösen. Dafür gibt es den Prozentrechner.
Gibt es Aufgaben, die weder proportional noch antiproportional sind?
Ja, sehr viele. Ein Taxi mit Grundgebühr ist nicht proportional, weil die doppelte Strecke nicht den doppelten Preis kostet. Auch das Alter und die Körpergröße hängen nicht proportional zusammen. Dort darfst du keinen Dreisatz verwenden.