Division von Ausdrücken

Ein Rechteck hat die Fläche 12x³ cm² und eine Seite von 4x cm Länge. Wie lang ist die andere Seite? Du rechnest 12x³ : 4x und erhältst 3x² cm. Das ist die Division von Ausdrücken: Du teilst Zahlen durch Zahlen und gleiche Variablen mit den Potenzgesetzen. Meist schreibst du die Division als Bruch, und dann heißt Teilen oft Kürzen.

Auf dieser Seite teilst du zuerst Monome, dann Summen durch ein Monom. Danach lernst du, was beim Kürzen erlaubt ist und warum manche Zahlen nicht eingesetzt werden dürfen. Die Umkehrung findest du auf der Seite Multiplikation von Ausdrücken, die Potenzgesetze auf der Seite Potenzen und Exponenten. Eine Übersicht über alle Themen bietet die Algebra.

Monom durch Monom

Ein Monom ist ein Term aus Zahl und Variablen, die nur mit Mal verbunden sind, zum Beispiel 12x³. Bei einem Bruch heißt der obere Teil Zähler und der untere Nenner. Um $\frac{12x^3}{4x}$ zu vereinfachen, teilst du erst die Zahlen und dann die Variablen. Das ist erlaubt, weil sich ein Bruch aus Faktoren in Teilbrüche zerlegen lässt: $\frac{12x^3}{4x}=\frac{12}{4}·\frac{x^3}{x}$. Das Ergebnis gilt nur für x ≠ 0, mehr dazu im Abschnitt über die Definitionsmenge.

Summe durch Monom

Steht im Zähler eine Summe und im Nenner ein Monom, teilst du jeden Summanden einzeln. Das ist das Distributivgesetz von der anderen Seite (Distributivgesetz): $\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$. Mit Zahlen sieht man es sofort: $\frac{12+18}{6}=\frac{30}{6}=5$ und $\frac{12}{6}+\frac{18}{6}=2+3=5$.

Kürzen: nur Faktoren!

Kürzen kennst du von Brüchen: $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$, denn du teilst oben und unten durch 2. Mit Variablen funktioniert das genauso. Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch denselben Wert zu teilen. Das darfst du nur bei Faktoren, also bei Teilen, die mit Mal verbunden sind. Summanden darfst du nicht herauskürzen. Steht im Zähler oder Nenner eine Summe, schreibst du sie zuerst als Produkt (ausklammern, siehe Ausmultiplizieren von Klammern) und kürzt dann gemeinsame Faktoren.

Definitionsmenge: Division durch null

Durch null darfst du nie teilen. Die Aufgabe 6 : 0 fragt nach einer Zahl q mit q · 0 = 6. Weil jede Zahl mal null gleich null ist, gibt es keine solche Zahl. Bei 0 : 0 würde jede Zahl passen, das Ergebnis wäre also nicht eindeutig. Deshalb ist die Division durch null nicht definiert. Ein Alltagsbild: 12 Pizzastücke lassen sich auf 3 Personen verteilen, jede bekommt 4. Auf 0 Personen lässt sich nichts verteilen, die Frage „Wie viel bekommt jeder?“ hat dann keinen Sinn.

Steht im Nenner eine Variable, gibt es Zahlen, die du nicht einsetzen darfst. Die Menge aller erlaubten Zahlen heißt Definitionsmenge D. Du rechnest hier mit den rationalen Zahlen ℚ, also mit allen Brüchen. „Alle Zahlen außer 0“ schreibst du als D = ℚ \ {0}. Terme mit Variablen im Nenner heißen Bruchterme, mehr dazu auf der Seite Rationale Ausdrücke.

Wie du Malnehmen, Teilen und Zusammenfassen in einer Aufgabe verbindest, zeigt die Seite Terme vereinfachen. Das Teilen durch Summen behandeln die Polynome und die Rationalen Ausdrücke. Das Zusammenfassen von Termen erklärt die Seite Addieren und Subtrahieren von Termen.